Une famille libre ?

Montre que $(e_1,e_2,e_3)$ est libre.
Soit $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ tel que $\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \lambda_3 x_3 = 0.$
Alors on a
$$\lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$Cela revient finalement à résoudre le système suivant :
$$\begin{cases} \lambda_1 + \lambda_2 = 0,\\ \lambda_1 + \lambda_3 = 0,\\ \lambda_2 + \lambda_3 = 0. \end{cases}$$De la première équation, on a $\lambda_2 = -\lambda_1$.
De la deuxième, $\lambda_3 = -\lambda_1$.
En les remplaçant dans la troisième :

$$\lambda_2 + \lambda_3 = -\lambda_1 - \lambda_1 = -2\lambda_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda_1 = 0.$$

Donc $\lambda_2 = 0$ et $\lambda_3 = 0$.
D’où la famille $(e_1,e_2,e_3)$ est libre.