Existence du sous-groupe strict d’un $p$-groupe

1. Le seul sous-groupe d’indice $p$ est le sous-groupe trivial $H = \{e\}$. En effet, le cardinal de $H$ est $1$, donc son indice dans $G$ est donné par le théorème de Lagrange^EN : $[G:H] = \#G / \#H = p / 1 = p$. L’initialisation est donc vérifiée.

2. Soit $x \in \mathcal{Z}(G)$ et $g \in G$. Par définition du centre, $x$ commute avec tout élément de $G$, et en particulier avec $g$. On a donc $gx = xg$, ce qui implique en multipliant à droite par $g^{-1}$ que $gxg^{-1} = x$.
   Puisque $x \in \mathcal{Z}(G)$, on a $gxg^{-1} \in \mathcal{Z}(G)$ pour tout $g \in G$. Ainsi, $g\mathcal{Z}(G)g^{-1} \subset \mathcal{Z}(G)$, ce qui prouve que $\mathcal{Z}(G)$ est un sous-groupe distingué de $G$.

3. Puisque $\mathcal{Z}(G)$ est un sous-groupe distingué, le quotient $G/\mathcal{Z}(G)$ est bien un groupe.
   On sait que $\mathcal{Z}(G)$ est non trivial, donc son cardinal est une puissance de $p$, disons $p^m$ avec $m \geq 1$.

Puis $G$ n’est pas abélien donc $\mathcal{Z}(G) \neq G$ et ainsi le quotient $G/\mathcal{Z}(G)$ a pour cardinal
$$\#G / \#\mathcal{Z}(G) = p^{k+1} / p^m = p^{k+1-m}.$$Comme $m \geq 1$, on a $k+1-m \leq k$. L’ordre du groupe quotient est donc une puissance de $p$ inférieure ou égale à $p^k$.
On peut appliquer l’hypothèse de récurrence forte au groupe $G/\mathcal{Z}(G)$ : ce dernier possède un sous-groupe d’indice $p$. D’après le théorème de correspondance, les sous-groupes de $G/\mathcal{Z}(G)$ sont de la forme $H/\mathcal{Z}(G)$, où $H$ est un sous-groupe de $G$ contenant $\mathcal{Z}(G)$.

4. Toujours d’après le théorème de correspondance pour les groupes quotients, l’indice d’un sous-groupe est préservé lors du passage au quotient.
   On a donc l’égalité des indices :
   $$[G : H] = [G/\mathcal{Z}(G) : H/\mathcal{Z}(G)]$$Puisque le sous-groupe $H/\mathcal{Z}(G)$ a été choisi pour être d’indice $p$ dans $G/\mathcal{Z}(G)$, on en déduit immédiatement que $[G : H] = p$.
   $H$ est donc un sous-groupe de $G$ d’indice $p$, ce qui achève la récurrence.