Existence du sous-groupe strict d'un $p$-groupe

Soit $G$ un $p$ -groupe, disons de cardinal $p^k,k>0$ . On veut montrer qu’il existe un sous-groupe $H$ de $G$ d'indice $p$ . On admet que le résultat est vrai si $G$ est abélien en tant que conséquence du théorème de classification de Fröbenius, on suppose alors $G$ non-abélien.

On procède par récurrence forte sur $k$ .

1. Montrer que si $G$ est de cardinal $p$ , alors c’est du tout cuit.

On suppose maintenant $G$ de cardinal $p^{k+1}$ et on admet le résultat pour tout groupe de cardinal $p^i, i\leqslant k$ .
On rappelle que le problème Centre d’un $p$ -groupe nous a informé que l’ensemble
$\mathcal{Z}(G):=\{x\in G/ \forall g\in G, xg=gx\}$ est un sous-groupe de $G$ non trivial, c’est le centre de $G$ .
2. Montrer que le centre de $G$ est un sous-groupe distingué de $G$ .
3. Montrer que le groupe quotient^EN $G/\mathcal{Z}(G)$ possède un sous-groupe $H/\mathcal{Z}(G)$ non-trivial.
4. En déduire que $H$ est un sous-groupe d’indice $p$ de $G$ .

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Solution by Sequoia

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Le seul sous-groupe d’indice $p$ est le sous-groupe trivial $H = \{e\}$ . En effet, le cardinal de $H$ est $1$ , donc son indice dans $G$ est donné par le théorème de Lagrange^EN : $[G:H] = \#G / \#H = p / 1 = p$ . L’initialisation est donc vérifiée.
Soit $x \in \mathcal{Z}(G)$ et $g \in G$ . Par définition du centre, $x$ commute avec tout élément de $G$ , et en particulier avec $g$ . On a donc $gx = xg$ , ce qui implique en multipliant à droite par $g^{-1}$ que $gxg^{-1} = x$ .
Puisque $x \in \mathcal{Z}(G)$ , on a $gxg^{-1} \in \mathcal{Z}(G)$ pour tout $g \in G$ . Ainsi, $g\mathcal{Z}(G)g^{-1} \subset \mathcal{Z}(G)$ , ce qui prouve que $\mathcal{Z}(G)$ est un sous-groupe distingué de $G$ .
Puisque $\mathcal{Z}(G)$ est un sous-groupe distingué, le quotient $G/\mathcal{Z}(G)$ est bien un groupe.
On sait que $\mathcal{Z}(G)$ est non trivial, donc son cardinal est une puissance de $p$ , disons $p^m$ avec $m \geq 1$ .

Puis $G$ n’est pas abélien donc $\mathcal{Z}(G) \neq G$ et ainsi le quotient $G/\mathcal{Z}(G)$ a pour cardinal
$\#G / \#\mathcal{Z}(G) = p^{k+1} / p^m = p^{k+1-m}.$ Comme $m \geq 1$ , on a $k+1-m \leq k$ . L’ordre du groupe quotient est donc une puissance de $p$ inférieure ou égale à $p^k$ .
On peut appliquer l’hypothèse de récurrence forte au groupe $G/\mathcal{Z}(G)$ : ce dernier possède un sous-groupe d’indice $p$ . D’après le théorème de correspondance, les sous-groupes de $G/\mathcal{Z}(G)$ sont de la forme $H/\mathcal{Z}(G)$ , où $H$ est un sous-groupe de $G$ contenant $\mathcal{Z}(G)$ .

Toujours d’après le théorème de correspondance pour les groupes quotients, l’indice d’un sous-groupe est préservé lors du passage au quotient.
On a donc l’égalité des indices :
$[G : H] = [G/\mathcal{Z}(G) : H/\mathcal{Z}(G)]$ Puisque le sous-groupe $H/\mathcal{Z}(G)$ a été choisi pour être d’indice $p$ dans $G/\mathcal{Z}(G)$ , on en déduit immédiatement que $[G : H] = p$ .
$H$ est donc un sous-groupe de $G$ d’indice $p$ , ce qui achève la récurrence.

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