Exponentielle et fraction rationelle ?

Soit $D\subset\mathbb{C}$ une partie bornée contenant une infinité d’éléments.

Existe-t-il une fraction rationelle qui coïnciderait avec la fonction exponentielle sur $D$ ?

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On note $\frac{P}{Q}$ la fraction rationnelle en question. Posons ainsi $f:= Q\cdot \exp -P$ . C’est une fonction holomorphe sur $\C$ qui s’annule sur $D$ , donc sur l’adhérence $\overline{D}$ par continuité. Cet adhérence est fermée par définition et bornée car $D$ l’est, c’est donc un compact de $\mathbb{C}$ . Il possède ainsi un point d’accumulation et une suite injective tendant vers ce point (car $D$ est infini). Mais alors $f$ s’annulerait en tous points de cette suite ainsi qu’en sa limite. Or $f$ est holomorphe donc, par le théorème des zéros isolés, $f$ est nulle sur tout $\mathbb{C}$ . Donc l’exponentielle serait une fraction rationnelle, ce qui est clairement faux car son comportement asymptotique en l’infini (disons selon $\R$ ) domine n’importe quelle fonction puissance, qui est le comportement asymptotique d’une fraction rationnelle en cet infini. Ainsi $\exp$ n’est pas égale à une fraction rationnelle sur un domaine borné infini de $\mathbb{C}$ .

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