Exponentielle et fraction rationelle ?

On note $\frac{P}{Q}$ la fraction rationnelle en question. Posons ainsi $f:= Q\cdot \exp -P$. C’est une fonction holomorphe sur $\C$ qui s’annule sur $D$, donc sur l’adhérence $\overline{D}$ par continuité. Cet adhérence est fermée par définition et bornée car $D$ l’est, c’est donc un compact de $\mathbb{C}$. Il possède ainsi un point d’accumulation et une suite injective tendant vers ce point (car $D$ est infini). Mais alors $f$ s’annulerait en tous points de cette suite ainsi qu’en sa limite. Or $f$ est holomorphe donc, par le théorème des zéros isolés, $f$ est nulle sur tout $\mathbb{C}$. Donc l’exponentielle serait une fraction rationnelle, ce qui est clairement faux car son comportement asymptotique en l’infini (disons selon $\R$) domine n’importe quelle fonction puissance, qui est le comportement asymptotique d’une fraction rationnelle en cet infini. Ainsi $\exp$ n’est pas égale à une fraction rationnelle sur un domaine borné infini de $\mathbb{C}$.