Extensions de $\R$ et $\C$

1.a. On sait que tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme $a + ib$ avec $a, b \in \R$. La famille $(1, i)$ forme donc une base du $\R$-espace vectoriel $\C$.
Ainsi, la dimension de $\C$ en tant qu’espace vectoriel sur $\R$ est de $2$. Le degré de l’extension est donc $[\C : \R] = 2$.

1.b. Si une telle extension $L$ existait, il y aurait un élément $x \in L \setminus \C$ dont le polynôme minimal sur $\C$ serait de degré $2$.
Or, tout polynôme de degré $2$ à coefficients dans $\C$ s’écrit $P(X) = aX^2 + bX + c$ avec $a \neq 0$. Son discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ est un nombre complexe.
Puisque tout nombre complexe admet une racine carrée dans $\C$ (en passant par la forme trigonométrique ou par résolution d’un système algébrique), on peut trouver $\delta \in \C$ tel que $\delta^2 = \Delta$.
Les racines de $P$ sont alors $\frac{-b \pm \delta}{2a}$, qui appartiennent toutes deux à $\C$.
Ainsi, tout polynôme de degré $2$ sur $\C$ est réductible (scindé). Il n’existe donc aucun polynôme irréductible de degré $2$ sur $\C$, et par conséquent, aucune extension de degré $2$ de $\C$.

2.a. Puisque $K$ est une extension de degré fini sur $\R$, l’anneau $\R[x]$ est un sous-corps de $K$.
D’après le théorème de la base télescopique, on a :
$$[K : \R] = [K : \R[x]] \cdot [\R[x] : \R]$$On sait que $[K : \R]$ est un entier impair. Or, le produit de deux entiers est impair si et seulement si les deux entiers sont impairs.
On en déduit que le degré $[\R[x] : \R]$ divise un nombre impair, donc $[\R[x] : \R]$ est une extension de degré impair de $\R$.

2.b. Par définition, l’extension $\R[x]$ est engendrée par l’élément $x$. La théorie des extensions de corps nous dit que la dimension de l’espace vectoriel $\R[x]$ sur $\R$ est exactement égale au degré du polynôme minimal de $x$ sur $\R$.
Ainsi, $\deg(\pi) = [\R[x] : \R]$.
D’après la question précédente, $[\R[x] : \R]$ est impair, donc le polynôme minimal $\pi$ est de degré impair.

2.c. Le polynôme minimal $\pi$ est un polynôme à coefficients réels de degré impair.
Or, d’après le théorème des valeurs intermédiaires (puisque les limites en $+\infty$ et $-\infty$ sont de signes opposés car $\pi$ est de degré impair), $\pi$ admet au moins une racine réelle.
Mais $\pi$ est par définition un polynôme irréductible sur $\R$. Le seul moyen pour qu’un polynôme irréductible sur $\R$ admette une racine réelle est qu’il soit de degré $1$.
On a donc $\deg(\pi) = 1$, ce qui implique que $[\R[x] : \R] = 1$.
Par conséquent, $x \in \R$.
Puisque ce raisonnement est valable pour n’importe quel élément $x \in K$, on a $K \subset \R$. Comme $\R \subset K$, on conclut finalement que $K = \R$.