$f+f'$ tend vers 0

$\hookrightarrow$ On pose $g=f+f'$, cette fonction tend alors vers $0$ en l’infini. Résolvons cette équation en fixant $g$.
L'équation homogène est $f+f'=0$, de solutions $x\longmapsto \alpha e^{-x}$ pour tout $\alpha\in\R$.

En utilisant la formule de Duhamel pour la solution particulière (qui revient à réaliser une méthode de variation de la constante), on trouve finalement l’existence de $\alpha\in\R$ tel que:
$$f\colon x\in\R\longmapsto e^{-x}\left(\alpha + \int_0^x g(t)\,e^t\,\mathrm{d}t\right)$$Pour $x>0$, dans la dernière intégrale, on peut poser $u=e^t$ et ainsi l’écrire sous la forme $\int_1^{e^x}g(\ln(u))\,\mathrm{d}u$.
Or la fonction $g\circ\ln$ tend vers $0$ en l’infini et est continue donc on peut appliquer le théorème de Cesaro (en posant $X:=e^x$) et conclure que
$$e^{-x}\int_0^{e^x}g(\ln(u))\,\mathrm{d}u=\frac{1}{X}\int_0^X g\circ\ln \underset{X\to+\infty}{\longrightarrow}0$$Ainsi $f$ tend vers $0$ en l’infini. De même, $f'=g-f$ tend vers $0$.

$\hookrightarrow$ Si maintenant $f$ est seulement supposée dérivable, alors le résultat subsiste en utilisant la règle de l’Hôpital. En effet, on pose $A(x)=e^x f(x)$ et $B(x)=e^x$, alors $\frac{A'(x)}{B'(x)}=f(x)+f'(x)$ tend vers $0$ donc $f(x)=\frac{A(x)}{B(x)}$ tend aussi vers $0$.