Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Fermé + borné = compact ?

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Solution by FiniteField · FR

  1. L’ensemble AA est inclus dans la sphère unité donc c’est un ensemble borné. Si P=∑k=0+∞akXk∈R[X]P=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}X^{k}\in\mathbb{R}[X] est adhérent à AA avec (ak)(a_{k}) nulle à partir d’un certain rang. Alors
    ∀ε>0,∃m∈N,∣∣P−Xm∣∣=∑k=0k≠m+∞∣ak∣+∣am−1∣≤ε\forall \varepsilon>0, \exists m\in\mathbb{N}, ||P-X^{m}||=\sum_{\substack{k=0\\k\neq m}}^{+\infty}|a_{k}|+|a_{m}-1|\leq \varepsilonEn prenant ε\varepsilon assez petit (plus petit que tout ∣ak∣|a_{k}| qui aurait la mauvaise idée d’être non nul) on a ∀k≠m,ak=0\forall k\neq m,a_{k}=0 puis am=1a_{m}=1 donc P=Xm∈A.P=X^{m}\in A.
  2. La suite (Xn)∈AN(X^{n})\in A^{\mathbb{N}} n’a pas de valeur d’adhérence. En effet, la forme linéaire ℓk ⁣:P=∑j=0+∞ajXj∈R[X]⟶ak\ell_{k}\colon P=\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{j}X^{j}\in\mathbb{R}[X]\longrightarrow a_{k} est continue pour la norme choisie sur R[X]\mathbb{R}[X] donc si (Xn)(X^{n}) admettait une extractrice convergente (Xφ(n))(X^{\varphi(n)}) la limite vérifierait ∀k∈N,ℓk(Xφ(n))=0\forall k\in\mathbb{N},\ell_{k}(X^{\varphi(n)})=0 donc la limite serait le polynôme nul ce qui contredit le fait que ∀n∈N,∣∣Xφ(n)∣∣=1\forall n\in\mathbb{N}, ||X^{\varphi(n)}||=1.

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