Fermé + borné = compact ?

On se place dans l’espace vectoriel $\mathbb R[X]$ des polynômes muni de la norme
$\left\|\sum_{k=0}^{n} a_kX^k \right\| =\sum_{k=0}^{n}|a_k|.$ Considérons l’ensemble $A= \{X^n, n\in \mathbb N\}$ .

Montrer que $A$ est à la fois fermé et borné.
$A$ est-il compact ?

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Solution by FiniteField

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L’ensemble $A$ est inclus dans la sphère unité donc c’est un ensemble borné. Si $P=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}a_{k}X^{k}\in\mathbb{R}[X]$ est adhérent à $A$ avec $(a_{k})$ nulle à partir d’un certain rang. Alors
$\forall \varepsilon>0, \exists m\in\mathbb{N}, ||P-X^{m}||=\sum_{\substack{k=0\\k\neq m}}^{+\infty}|a_{k}|+|a_{m}-1|\leq \varepsilon$ En prenant $\varepsilon$ assez petit (plus petit que tout $|a_{k}|$ qui aurait la mauvaise idée d’être non nul) on a $\forall k\neq m,a_{k}=0$ puis $a_{m}=1$ donc $P=X^{m}\in A.$
La suite $(X^{n})\in A^{\mathbb{N}}$ n’a pas de valeur d’adhérence. En effet, la forme linéaire $\ell_{k}\colon P=\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}a_{j}X^{j}\in\mathbb{R}[X]\longrightarrow a_{k}$ est continue pour la norme choisie sur $\mathbb{R}[X]$ donc si $(X^{n})$ admettait une extractrice convergente $(X^{\varphi(n)})$ la limite vérifierait $\forall k\in\mathbb{N},\ell_{k}(X^{\varphi(n)})=0$ donc la limite serait le polynôme nul ce qui contredit le fait que $\forall n\in\mathbb{N}, ||X^{\varphi(n)}||=1$ .

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