Limite d’une fonction périodique

Soit $x\in \R$ un nombre réel fixé arbitrairement, et étudions la suite$f(x),f(x+T),f(x+2T),\ldots$ . Par hypothèse, puisque $x+n T \underset{n \rightarrow+\infty}{\longrightarrow}+\infty$, elle converge vers une limite $l\in \R$. Mais cette suite est constante en raison de la périodicité de $f$. Cela signifie que $f(x)=l$. En appliquant le même raisonnement pour tout $x\in \R$, on obtient que $f$ est constant et égale à $l$.