Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/General algebraReviewed

Groupes isomorphes ?

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50
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Les groupes (R,+)(\mathbb{R},+) et (R∗,×)\left(\mathbb{R}^*, \times\right) sont-ils isomorphes?

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Solution by Declin

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On cherche toute les applications phi de R dans R* bijective, telle que phi(x+y)=phi(x).phi(y) et phi(0)=1.
En particulier, une telle application vérifie pour x non nul, phi(x)=phi(2*x/2)=phi(x/2)^2 >=0, donc phi ne peut atteindre les réels négatifs.

Conclusion:
Les groupes (R,+) et (R*,x) ne sont pas isomorphes !

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