Groupes simples d’ordre 2026

Soit $G$ un groupe fini d’ordre $2026$. On a $2026=2\times 1013$ avec $1013$ premier.
Sans les théorèmes de Sylow
Par le théorème de Cauchy, $G$ a un élément d’ordre $1013$.
Cet élément engendre un sous-groupe d’indice $2$ dans $G$, donc distingué dans $G$.
Le groupe $G$ ne peut donc pas être simple.
Avec les théorèmes de Sylow
Les théorèmes de Sylow affirment que le nombre $n_{1013}$ de $1013$-Sylow de $G$ vérifie :
$$n_{1013}\equiv 1\,[1013]\text{ et }n_{1013}\mid 2\text{.}$$Ainsi, $n_{1013}=1$ et le groupe $G$ n’est pas simple.