Hyperplan comme noyau d’une forme linéaire

1. Soit $\varphi\neq 0$. Il existe $a\in E$ tel que $\varphi(a)=1$. Pour tout $x\in E$,

$$x=\bigl(x-\varphi(x)a\bigr)+\varphi(x)a,$$

avec $x-\varphi(x)a\in\ker\varphi$. Ainsi

$$E=\ker\varphi\oplus Ka.$$

Donc $\ker\varphi$ est un hyperplan.

2. Soit $H$ un hyperplan. Il existe une droite $Ka$ telle que

$$E=H\oplus Ka.$$

Tout $x\in E$ s’écrit donc uniquement $x=h+\lambda a$. Posons

$$\varphi(h+\lambda a)=\lambda.$$

Alors $\varphi$ est linéaire, non nulle, et

$$\ker\varphi=H.$$