Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/Linear algebraExerciseUnreviewed

Hyperplan comme noyau d’une forme linéaire

by Ancient Tree·
28
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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  1. Soit φ\varphi une forme linéaire non nulle d’un espace vectoriel EE. Montrer que son noyau est un hyperplan.

  2. Réciproquement, soit HH un hyperplan d’un espace vectoriel EE. Montrer que HH est le noyau d’une forme linéaire non nulle.

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Solutions

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Solution by Ancient Tree

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  1. Soit φ≠0\varphi\neq 0. Il existe a∈Ea\in E tel que φ(a)=1\varphi(a)=1. Pour tout x∈Ex\in E,

x=(x−φ(x)a)+φ(x)a,x=\bigl(x-\varphi(x)a\bigr)+\varphi(x)a,

avec x−φ(x)a∈ker⁡φx-\varphi(x)a\in\ker\varphi. Ainsi

E=ker⁡φ⊕Ka.E=\ker\varphi\oplus Ka.

Donc ker⁡φ\ker\varphi est un hyperplan.

  1. Soit HH un hyperplan. Il existe une droite KaKa telle que

E=H⊕Ka.E=H\oplus Ka.

Tout x∈Ex\in E s’écrit donc uniquement x=h+λax=h+\lambda a. Posons

φ(h+λa)=λ.\varphi(h+\lambda a)=\lambda.

Alors φ\varphi est linéaire, non nulle, et

ker⁡φ=H.\ker\varphi=H.

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