Hypothèse de Riemann

Soit $\zeta\colon s\in\mathbb{C}\longmapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}$ la fonction de Riemann, définie et holomorphe sur $\{s\in\mathbb{C}/ \Re(s)\geqslant 1, s\neq1\}$. On peut montrer que cette fonction ne s’annule pas.

Cette fonction vérifie l’équation $\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{+\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t-1}\,\mathrm{d}t$ pour tout $s$ tel que $\Re(s)>1$, où $\frac{1}{\Gamma(s)}:=\underset{n\to+\infty}{\lim}\frac{s(s+1)\cdots(s+n)}{n!\, n^s}$ est la fonction inverse d’Euler, définie pour tout complexe $s$.
Le membre de droite de l’équation précédente est défini pour tout complexe $s$ différent de $1$, on peut ainsi prolonger $\zeta$ en une fonction méromorphe sur $\mathbb{C}$, avec un pôle simple en $1$. On notera aussi $\zeta$ son prolongement.

Par une formule de Poisson, on peut aussi montrer la formule:
$$\zeta(s)=2^{s}\pi^{s-1}\Gamma(1-s)\,\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\,\zeta(1-s),$$ce qui donne une relation symétrique pour $\zeta$ autour de la bande $\Re(s)=\frac12$. On remarque aussi que $\zeta$ possède alors des zéros, dits triviaux, et situés sur $-2\N^*$ dû au sinus. A noter que les entiers pairs positifs ne sont pas zéros de $\zeta$ car ils se simplifient avec les pôles de $\Gamma(1-s)$.

Enfin, le fait que $\zeta(s)$ ne s’annule pas pour $\Re(s)\geqslant1$ implique par cette relation qu’elle ne s’annule pas non plus pour $\Re(s)\leqslant 0$. On appelle alors la bande $\{s\in\mathbb{C}/ 0<\Re(s)<1\}$ la bande critique, car c’est là que tout se passe.

L’hypothèse de Riemann (1859) se formule alors comme suit:
Il existe une infinité de zéros non-triviaux de la fonction $\zeta$ et ces derniers se situent tous sur la droite $\Re(s)=\frac12$.

Aujourd’hui, Hardy a prouvé en 1914 qu’il existait une infinité de zéros non-triviaux sur cette droite. Il reste à prouver qu’aucun autre zéro n’apparaît en-dehors de la droite $\Re(s)=\frac12$. Ce qui est prouvé informatiquement (2023) avec une précision de $10^{-100}$.