Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Idempotent ou nilpotent, il faut choisir

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Solution

Solution by FiniteField · FR

Commençons par montrer que pour tout a∈Aa\in A nilpotent alors a−1a-1 est inversible.
Soit a∈Aa\in A nilpotent, alors il existe n∈N∗,an=0n\in\mathbb{N}^*, a^n=0 on a alors
(a−1)(an−1+⋯+a+1)=an−1=−1(a-1)(a^{n-1}+\dots+a+1)=a^n-1=-1Ainsi, a−1a-1 est inversible.
On remarque ensuite que −1-1 étant inversible, d’inverse lui-même, il ne peut être nilpotent. Il est alors idempotent, c’est à dire que (−1)2=−1(-1)^2=-1 ou encore −1=1-1=1 donc 2=0.2=0.
On attaque maintenant la preuve de la question. Soit aa nilpotent. Montrons que aa est idempotent. Puisque aa est nilpotent a−1a-1 est idempotent donc
(a−1)2=a2−2a⏟=0+1=a−1 donc a2=a−2=a.(a-1)^2=a^2-\underbrace{2a}_{{=0}}+1=a-1\text{ donc }a^2=a-2=a.(remarquez que cette identité remarquable est correcte car aa et 11 commutent toujours). Donc aa est idempotent.

NawzadHoganbyFR

J’ai fait presque pareil que cette solution, mais sans utiliser le fait que 2=02=0. Si xx est nilpotent, alors (1−x)(1-x) est inversible et donc ne peut pas être nilpotent. Il est donc idempotent, et donc (1−x)2=1−x(1-x)^{2}=1-x, d’où 1−2x+x2=1−x1-2x+x^{2}=1-x, ce qui donne directement x2=xx^{2}=x. Après, l’apport donné par FiniteField est pertinent, je ne m’étais d’ailleurs jamais fait la remarque qu’un anneau unitaire dont tout élément est indempotent vérifie 2=02=0.

FiniteFieldbyFR

Vous avez raison, c’est une preuve bien plus directe, sans détour inutile. Le fait que AA soit de caractéristique 22 sert dans le problème suivant où on approfondit l’étude de ce genre d’anneau mais n’a pas vraiment sa place ici. Si vous voulez bien ajouter votre preuve je supprimerai la mienne et j’éditerai l’autre problème en conséquence !