Inégalité de Sudbery-Popoviciu

Soit $f \in \mathbb{C}[X]$, de degré $n \geqslant 2$, possédant au moins deux racines distinctes. On pose $F:=f f^{\prime} \cdots f^{(n)}$ et on note $z_1, \ldots, z_k$ les racines distinctes de $F$. On veut montrer que $k \geqslant n+1$.

On note $m_i(\ell)$ la multiplicité de $z_i$ comme racine de $f^{(\ell)}$. Soit $P \in \mathbb{C}[X]$ unitaire, que l’on écrit

$$P=X^d+\sum_{j=1}^d \alpha_j X^{d-j}=\prod_{i=1}^d\left(X-z_i\right) .$$On convient que $\alpha_0=1$ et que pour $j \geqslant d+1, \alpha_j=0$. Pour $j \in \mathbb{N}$, on définit $S_j(P)$ la $j$-ième somme de Newton du polynôme $P$ : $S_j(P):=\sum_{i=1}^d z_i^j .$

On rappelle que $S_0(P)=d$, et si $j \geqslant 1$,
$$S_j(P)=\sum_{\substack{i=\left(i_1, \ldots, i_j\right) \in \mathbb{N}^j \\ i_1+2 i_2+\ldots+j i_j=j}} c_{j, i} \alpha_1^{i_1} \cdots \alpha_j^{i_j}$$où les coefficients $c_{j, i}$ ne dépendent ni de $d$ ni de $P$.

1. Soient $d \geqslant 1$ et $\ell \in \llbracket 1, d-1 \rrbracket$ et soit $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $d$.

Montrer que toute racine de $P^{(\ell)}$ est combinaison linéaire convexe des racines de $P$.

2. Soit $j \in \llbracket 0, k-1 \rrbracket$. Montrer que l’application

$$\phi_j:\left\{\begin{array}{c} \llbracket 0, n \rrbracket \longrightarrow \mathbb{C} \\ \ell \longmapsto S_j\left(f^{(\ell)}\right) \end{array}\right.$$

est polynomiale de degré inférieur ou égal à $k-1$.

3. Établir l’existence de polynômes $g_1, \ldots, g_k$, de degrés strictement inférieurs à $k$ tels que $g_i(\ell)=m_i(\ell)$ pour tout $\ell \in \llbracket 0, n \rrbracket$.

4. Établir l’existence de $i \in \llbracket 1, k \rrbracket$ tel que $z_i$ est racine de $f$ et

$$\begin{cases}m_i(\ell)=m_i(0)-\ell & \text { si } 0 \leqslant \ell \leqslant m_i(0) \\ m_i(\ell)=0 & \text { si } m_i(0)+1 \leqslant \ell \leqslant n .\end{cases}$$

5. Pour $\ell \in \llbracket 0, n-2 \rrbracket$, on pose $d(\ell)=m_i(\ell)-2 m_i(\ell+1)+m_i(\ell+2)$. Calculer $\sum_{\ell=0}^{n-2}\binom{n-2}{\ell}(-1)^{\ell} d(\ell)$.

6. En déduire que $k \geqslant n+1$.