Inégalité de Wirtinger

Solution (par la méthode de la cotangente)

On note $M=\sup_{[0,\pi]}|f'|$, fini car $f'$ est continue sur un segment.

Étape 1 : une identité. Pour $t\in\,]0,\pi[$, développons le carré :
$$\bigl(f'(t)-\cot(t)f(t)\bigr)^{2}-\bigl(f'(t)^{2}-f(t)^{2}\bigr)=\bigl(1+\cot^{2}(t)\bigr)f(t)^{2}-2f'(t)f(t)\cot(t).$$Or, toujours pour $t\in\,]0,\pi[$,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Bigl(f(t)^{2}\cot(t)\Bigr)=2f(t)f'(t)\cot(t)-f(t)^{2}\bigl(1+\cot^{2}(t)\bigr),$$puisque $\cot'=-1-\cot^{2}$. Le membre de droite ci-dessus est donc exactement $-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(f^{2}\cot\bigr)$.

Étape 2 : intégration sur un segment compact. Soit $n\geqslant 3$. En intégrant l’identité précédente sur $\bigl[\tfrac1n,\pi-\tfrac1n\bigr]$, où $\cot$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$, il vient
$$\int_{1/n}^{\pi-1/n}\bigl(f'-\cot\cdot f\bigr)^{2}-\int_{1/n}^{\pi-1/n}\bigl(f'^{2}-f^{2}\bigr)=f\Bigl(\tfrac1n\Bigr)^{2}\cot\Bigl(\tfrac1n\Bigr)-f\Bigl(\pi-\tfrac1n\Bigr)^{2}\cot\Bigl(\pi-\tfrac1n\Bigr).$$

Étape 3 : les termes de bord tendent vers $0$. Comme $f(0)=0$, l’inégalité des accroissements finis donne $\bigl|f(1/n)\bigr|\leqslant M/n$, donc $f(1/n)^{2}\leqslant M^{2}/n^{2}$. Par ailleurs $\cot(1/n)\sim n$. Le premier terme de bord est donc un $O(1/n)$. De même $f(\pi)=0$ entraîne $f(\pi-1/n)^{2}\leqslant M^{2}/n^{2}$, et $\cot(\pi-1/n)=-\cot(1/n)\sim -n$ : le second terme de bord est aussi un $O(1/n)$. Les deux tendent vers $0$.

Étape 4 : passage à la limite. Les fonctions $f'^{2}$ et $f^{2}$ étant continues sur $[0,\pi]$, on a
$$\int_{1/n}^{\pi-1/n}\bigl(f'^{2}-f^{2}\bigr)\xrightarrow[n\to\infty]{}\int_{0}^{\pi}\bigl(f'^{2}-f^{2}\bigr).$$L’intégrande $\bigl(f'-\cot\cdot f\bigr)^{2}$ est positif, donc $n\mapsto\int_{1/n}^{\pi-1/n}\bigl(f'-\cot\cdot f\bigr)^{2}$ est croissante ; l’égalité de l’étape 2 montre qu’elle converge. Sa limite est l’intégrale généralisée sur $]0,\pi[$, et
$$\int_{0}^{\pi}\bigl(f'(t)^{2}-f(t)^{2}\bigr)\mathrm{d}t=\int_{0}^{\pi}\bigl(f'(t)-\cot(t)f(t)\bigr)^{2}\mathrm{d}t\ \geqslant\ 0,$$ce qui est l’inégalité annoncée.

Cas d’égalité

D’après l’identité finale, il y a égalité si et seulement si l’intégrale de droite est nulle. Son intégrande étant continu et positif sur $]0,\pi[$, cela équivaut à
$$f'(t)=\cot(t)\,f(t)\qquad\text{pour tout }t\in\,]0,\pi[.$$Posons alors $g(t)=\dfrac{f(t)}{\sin t}$ sur $]0,\pi[$, où $\sin$ ne s’annule pas. Cette fonction est dérivable et
$$g'(t)=\frac{f'(t)\sin t-f(t)\cos t}{\sin^{2}t}=\frac{\sin t\bigl(f'(t)-\cot(t)f(t)\bigr)}{\sin^{2}t}=0.$$L’intervalle $]0,\pi[$ étant connexe, $g$ est constante, égale à un certain $c\in\mathbb{R}$ : ainsi $f(t)=c\sin t$ sur $]0,\pi[$, et par continuité sur $[0,\pi]$ tout entier.

Réciproquement, pour $f(t)=c\sin t$ on a $f(0)=f(\pi)=0$ et
$$\int_{0}^{\pi}f^{2}=c^{2}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}=\frac{c^{2}\pi}{2}=c^{2}\int_{0}^{\pi}\cos^{2}=\int_{0}^{\pi}f'^{2}.$$Les fonctions réalisant l’égalité sont donc exactement les $x\mapsto c\sin x$, $c\in\mathbb{R}$. $\blacksquare$

Seconde solution (séries de Fourier)

Prolongement. Prolongeons $f$ à $[-\pi,\pi]$ en une fonction impaire, encore notée $f$, puis par $2\pi$-périodicité à $\mathbb{R}$. Comme $f(0)=f(\pi)=0$, ce prolongement est continu, et de classe $\mathcal{C}^{1}$ par morceaux avec $f'$ bornée : les hypothèses de Parseval sont remplies pour $f$ et pour $f'$.

Coefficients. Posons $c_{n}(f)=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}nt}\,\mathrm{d}t$. Une intégration par parties, licite car $f(-\pi)=f(\pi)=0$ annule le terme de bord, donne
$$\forall n\in\mathbb{Z},\qquad c_{n}(f')=\mathrm{i}n\,c_{n}(f).$$L’imparité de $f$ entraîne de plus $c_{0}(f)=0$.

Parseval. On obtient
$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'^{2}=\sum_{n\in\mathbb{Z}}n^{2}\bigl|c_{n}(f)\bigr|^{2}=\sum_{n\neq 0}n^{2}\bigl|c_{n}(f)\bigr|^{2}\ \geqslant\ \sum_{n\neq 0}\bigl|c_{n}(f)\bigr|^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^{2},$$l’inégalité venant de $n^{2}\geqslant 1$ pour $n\neq 0$. Par imparité de $f$, donc parité de $f^{2}$ et de $f'^{2}$, on a $\int_{-\pi}^{\pi}=2\int_{0}^{\pi}$ dans les deux membres, d’où $\int_{0}^{\pi}f^{2}\leqslant\int_{0}^{\pi}f'^{2}$.

Égalité. Elle force $(n^{2}-1)|c_{n}(f)|^{2}=0$ pour tout $n$, c’est-à-dire $c_{n}(f)=0$ dès que $|n|\geqslant 2$. Il reste $f(t)=c_{1}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}+c_{-1}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}t}$ ; la réalité impose $c_{-1}=\overline{c_{1}}$ et l’imparité $c_{-1}=-c_{1}$, donc $c_{1}$ est imaginaire pur et $f(t)=c\sin t$.

Remarques

• Forme générale (inégalité de Wirtinger). Pour $f\in\mathcal{C}^{1}\bigl([a,b],\mathbb{R}\bigr)$ avec $f(a)=f(b)=0$,
  $$\int_{a}^{b}f(t)^{2}\,\mathrm{d}t\ \leqslant\ \frac{(b-a)^{2}}{\pi^{2}}\int_{a}^{b}f'(t)^{2}\,\mathrm{d}t,$$avec égalité si et seulement si $f(t)=c\sin\bigl(\pi\frac{t-a}{b-a}\bigr)$. On s’y ramène par le changement de variable affine $t\mapsto a+\frac{b-a}{\pi}t$, qui envoie $[0,\pi]$ sur $[a,b]$ : les deux intégrales sont multipliées respectivement par $\frac{b-a}{\pi}$ et par $\frac{\pi}{b-a}$.
• La constante $1$ est optimale sur $[0,\pi]$, puisqu’elle est atteinte. Elle s’interprète comme la première valeur propre du laplacien $-u''=\lambda u$ avec conditions de Dirichlet $u(0)=u(\pi)=0$, dont le spectre est $\{n^{2}\}_{n\geqslant 1}$ et le premier vecteur propre $\sin$, ce que la seconde solution rend transparent.
• L’hypothèse d’annulation aux deux bords est indispensable : pour $f\equiv 1$ on a $\int f^{2}=\pi>0=\int f'^{2}$. Une hypothèse de moyenne nulle, $\int_{0}^{\pi}f=0$, suffirait également, mais avec une autre constante.
• La méthode de la première solution est un cas particulier d’une technique générale : pour établir $\int(f'^{2}-qf^{2})\geqslant 0$, on cherche $w$ telle que $\int(f'-wf)^{2}$ diffère de $\int(f'^{2}-qf^{2})$ par une dérivée exacte, ce qui conduit à l’équation de Riccati $w'+w^{2}=-q$. Ici $q=1$ et $w=\cot$ en est bien solution.
• L’inégalité de Wirtinger fournit la preuve la plus courte de l’inégalité isopérimétrique dans le plan : parmi les courbes fermées de longueur donnée, le cercle maximise l’aire.