Limit of norms

$f$ étant continue sur le segment $[a,b]$, celle-ci est bornée et atteint ses bornes. Cela signifie en particulier qu’il existe $x_{0} \in [a,b]$ tel que $f(x_{0})=\max\limits_{x \in [a,b]} f(x)$.

Si $f(x_{0})=0$, alors $f$ est la fonction nulle sur $[a,b]$ et il est alors clair que $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} ( \int_{a}^{b} (f(x))^n \,dx )^{\frac{1}{n}} = 0$.

Supposons maintenant $f(x_{0})\neq0$. Quitte à diviser la fonction $f$ par $f(x_{0})$, on peut supposer sans perte de généralité que $f(x_{0})=1$. On remarque ainsi dans un premier temps que pour tout $n\in \mathbb{N}^{*}$ :
$$\Big( \int_{a}^{b} (f(x))^n \,dx \Big)^{\frac{1}{n}} \leqslant \Big( \int_{a}^{b} 1^n \,dx \Big)^{\frac{1}{n}} = (b-a)^{\frac{1}{n}}.$$En passant à la $\limsup$ quand $n \rightarrow +\infty$, il vient alors : $\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} ( \int_{a}^{b} (f(x))^n \,dx )^{\frac{1}{n}} \leqslant 1$.
Fixons maintenant $k \geqslant 2$ un entier. Par continuité de $f$ en $x_0$, on sait qu’il existe $\epsilon_{k}>0$ tel que pour tout $x\in[a,b]$ vérifiant $|x-x_{0}|<\epsilon_{k}$, on ait $f(x)\geqslant 1-\frac{1}{k}$. On peut alors remarquer que pour tout $n\in \mathbb{N}^{*}$ :
$$\Big( \int_{a}^{b} (f(x))^n \,dx \Big)^{\frac{1}{n}} \geqslant \Big( \int_{a}^{b} \Big(1-\frac{1}{k}\Big)^n \cdot \textbf{1}_{|x-x_{0}|<\epsilon_{k}}(x) \,dx \Big)^{\frac{1}{n}} \geqslant \Big(1-\frac{1}{k}\Big)\cdot (\epsilon_{k})^{\frac{1}{n}} .$$En passant à la $\liminf$ quand $n \rightarrow +\infty$, il vient alors : $\liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ( \int_{a}^{b} (f(x))^n \,dx )^{\frac{1}{n}} \geqslant 1-\frac{1}{k}$. Cette dernière inégalité étant valable pour tout entier $k \geqslant 2$, on obtient finalement $\liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ( \int_{a}^{b} (f(x))^n \,dx )^{\frac{1}{n}} \geqslant 1$.
On a ainsi montré $1 \leqslant \liminf\limits_{n \rightarrow \infty} ( \int_{a}^{b} (f(x))^n \,dx )^{\frac{1}{n}} \leqslant \limsup\limits_{n \rightarrow \infty} ( \int_{a}^{b} (f(x))^n \,dx )^{\frac{1}{n}} \leqslant 1$, d’où le fait que $(( \int_{a}^{b} (f(x))^n \,dx )^{\frac{1}{n}})_{n\in \mathbb{N}^{*}}$ converge avec $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} ( \int_{a}^{b} (f(x))^n \,dx )^{\frac{1}{n}} = 1$.

De manière générale, on a par conséquent $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} ( \int_{a}^{b} (f(x))^n \,dx )^{\frac{1}{n}} = \max\limits_{x \in [a,b]} f(x)$.