Intégrales de Wallis pondérées

On commence par écrire $f(t)$ sous la forme d’une série de Fourier:

$f(t)= \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} a_{j}\cos(2\pi jt)+ b_{j}\sin(2\pi jt)$

avec cette écriture:

$f(\frac{1}{2})= \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} a_{j}(-1)^{j}$ ou encore $f(\frac{1}{2})= \displaystyle \lim_{N\to +\infty}\sum_{j=0}^{N} a_{j}(-1)^{j}$

Ensuite on prend $n$ pair, soit $n=2m$ et on linéarise $\sin^{2m}(\pi t)$

on trouve alors :

$\displaystyle\sin^{2m}(\pi t)=\frac{2m!}{2^{2m}m!^{2}}(1+2\sum_{k=1}^{m}(-1)^{k}\cos(2\pi kt)\frac{m!^{2}}{(m-k)!(m+k)!})$

en combinant ces deux résultats, on peut donc écrire:

$\displaystyle\frac{2^{2m}m!^{2}}{2m!}\sin^{2m}(\pi t)f(t)=(1+2\sum_{k=1}^{m}(-1)^{k}\cos(2\pi kt)\frac{m!^{2}}{(m-k)!(m+k)!})\cdot(\sum_{j=0}^{+\infty} a_{j}\cos(2\pi jt)+ b_{j}\sin(2\pi jt))$

et se lancer dans le calcul de $\displaystyle\frac{2^{2m}m!^{2}}{2m!}\int_{0}^{1}\sin^{2m}(\pi t)f(t)dt$

Pour ce calcul, on est amené à calculer les intégrales:

$\displaystyle\int_{0}^{1}\cos(2\pi kt)\cos(2\pi jt)dt$ et $\displaystyle\int_{0}^{1}\cos(2\pi kt)\sin(2\pi jt)dt$

or ces intégrales sont toutes nulles sauf les intégrales $\displaystyle\int_{0}^{1}\cos(2\pi kt)\cos(2\pi jt)dt$ lorsque $k= j$, on obtient ainsi:

$\displaystyle\frac{2^{2m}m!^{2}}{2m!}\int_{0}^{1}\sin^{2m}(\pi t)f(t)dt=\sum_{k=0}^{m}(-1)^{k}a_{k}\frac{m!^{2}}{(m-k)!(m+k)!}$

or cette dernière somme converge vers $\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty} a_{j}(-1)^{j}=f(\frac{1}{2})$
voir: VRAI ou FAUX ?

voir aussi: Le compte est bon