Intégrations par parties faciles (niveau 1)

Calculer ces différentes intégrales via une intégration par parties:

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Posons $f(x)=x$ et $g'(x)=\cos x$ , d’où $f'(x)=1$ et $g(x)=\sin x$ . Ces deux fonctions étant de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,\pi/2]$ :
$\int_0^{\pi/2} x\cos x\,\mathrm{d}x=\Bigl[x\sin x\Bigr]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}-\Bigl[-\cos x\Bigr]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}-1 .$
Ici le logarithme doit être dérivé, ce qui impose $f(u)=\ln u$ et $g'(u)=u$ , donc $f'(u)=1/u$ et $g(u)=u^2/2$ :
$\int_1^e u\ln u\,\mathrm{d}u=\left[\frac{u^2}{2}\ln u\right]_1^e-\int_1^e \frac{u}{2}\,\mathrm{d}u=\frac{e^2}{2}-\left[\frac{u^2}{4}\right]_1^e=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2}{4}+\frac14=\frac{e^2+1}{4}.$
Posons $f(t)=2t+1$ et $g'(t)=e^t$ , d’où $f'(t)=2$ et $g(t)=e^t$ :
$\int_0^1 (2t+1)e^t\,\mathrm{d}t=\Bigl[(2t+1)e^t\Bigr]_0^1-2\int_0^1 e^t\,\mathrm{d}t=(3e-1)-2\bigl(e-1\bigr)=e+1 .$

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