Inversibilité de la matrice nulle ?

Notons $0_{n}$ cette matrice nulle. Si elle était inversible, elle admettrait une matrice inverse, disons $(0_{n})^{-1}$, telle que :
$$0_{n}\times (0_{n})^{-1}=I_{n}.$$Or, n’importe quelle matrice multipliée par la matrice nulle donne la matrice nulle.
On aurait donc :
$$0_{n}=I_{n}$$ce qui est faux puisque l’identité n’est pas la matrice nulle, ayant des coefficients non nuls.