Inversibilité des matrices nilpotentes

Supposons par l’absurde que $A$ est inversible.
$A$ est nilpotente d’indice $p$ : $A^{p} = 0$, que l’on peut écrire $A \cdot A^{p - 1} = 0$.
En multipliant par $A^{-1}$ des deux côtés:
$$A^{p-1} = 0.$$Sauf que $A^{p-1} \ne 0$ car $p-1<p$ et $n=p$ est le plus petit entier tel que $A^{n}=0$.
Nous avons une contradiction, ainsi $A$ n’est pas inversible.