Inversion de Pascal

On considère deux suites de réels $(a_k)_k$ et $(b_k)_k$ reliées par la relation
$$\forall n\in\N, b_n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\,a_k.$$On cherche alors à exprimer les $a_n$ uniquement en fonction des $b_k$, soit à inverser cette formule.

On définit $\varphi$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$ tel que $\varphi(P)(X)=P(X+1)$ pour tout $P\in\mathbb{R}[X]$. On rappelle que la base canonique de $\R[X]$ est la famille $(X^n)_{n\in\N}=(1,X,X^2,\dots)$.

1. Montrer que $\varphi$ est bijectif. On pourra pour cela chercher à exhiber sa réciproque^EN.
2. Déterminer la matrice de $\varphi$ dans la base canonique et montrer qu’elle est triangulaire supérieure.
3. Déterminer l’inverse de la matrice de la question précédente.
4. En déduire la formule d'inversion de Pascal
   $$\forall n\in\N, a_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(-1)^{n-k} \,b_k.$$
5. Application: On note $d_n$ le nombre de permutations de taille $n$ sans point fixe. Montrer que $n!=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} d_k$ puis utiliser la formule d’inversion de Pascal pour en déduire que:
   $$\forall n\in\N, d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}.$$