Irrationnellement insoluble

Supposons par l’absurde qu’un tel $x$ existe. L’anneau $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ est l’anneau des entiers de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2}).$ Par hypothèse, $x$ est racine du polynôme unitaire $P=X^{n}-(5+\sqrt{2})\in \mathcal{O}_{K}[X]$ et c’est un élément de $K$. Par conséquent, $x\in \mathcal{O}_{K}$. On écrit alors $x=a+b\sqrt{2}$ avec $a,b\in\mathbb{Z}$ et on a $(a+b\sqrt{2})^{n}=5+\sqrt{2}$. En passant à la norme sur $K$, i.e. l’application $N\colon \alpha+\beta\sqrt{2}\longmapsto (\alpha+\beta\sqrt{2})(\alpha-\beta\sqrt{2})=\alpha^{2}+2\beta^{2}$ qui est multiplicative, on a
$$(a^{2}+b^{2})^{n}=25+2=27=3^{3}.$$On en déduit que $n=3$ et que $a^{2}+b^{2}=3$ mais cette dernière équation n’a pas de solution dans $\mathbb{Z}^{2}$ donc il n’existe pas de tel $x.$