Irrationnellement insoluble

Supposons par l’absurde qu’un tel $x$ existe. L’anneau $\mathcal{O}_{K}=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ est l’anneau des entiers de $K=\mathbb{Q}(\sqrt{2}).$ Par hypothèse, $x$ est racine du polynôme unitaire $P=X^{n}-(5+\sqrt{2})\in \mathcal{O}_{K}[X]$ et c’est un élément de $K$. Par conséquent, $x\in \mathcal{O}_{K}$. On écrit alors $x=a+b\sqrt{2}$ avec $a,b\in\mathbb{Z}$ et on a $(a+b\sqrt{2})^{n}=5+\sqrt{2}$. En passant à la norme sur $K$, i.e. l’application $N\colon \alpha+\beta\sqrt{2}\longmapsto (\alpha+\beta\sqrt{2})(\alpha-\beta\sqrt{2})=\alpha^{2}+2\beta^{2}$ qui est multiplicative, on a
$$(a^{2}+b^{2})^{n}=25+2=27=3^{3}.$$On en déduit que $n=3$ et que $a^{2}+b^{2}=3$ mais cette dernière équation n’a pas de solution dans $\mathbb{Z}^{2}$ donc il n’existe pas de tel $x.$

1. Solution utilisant l’arithmétique de l’anneau euclidien $\Z[\sqrt 2]$

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Supposons cette existence et soit alors $k\in \N^{*}$ tel que $y:=kx\in \Z[\sqrt 2]$. Alors $y^n=k^n(5+\sqrt 2)$ (1) On rappelle que $\Z[\sqrt 2]$ est euclidien, que dans un anneau euclidien un nombre est premier ssi il est irréductible, que la norme dans $\Z[\sqrt 2]$ est définie par $\forall c,d\in \Z, N(c+\sqrt 2d)=c^2-2d^2$ et que si la valeur absolue de la norme d’un élément de cet anneau est un nombre premier de $\N$, alors il est irréductible. On a $N(5+\sqrt 2)=5^2-2.1^2=23$ qui est premier de $\N$, donc $r:=5+\sqrt 2$ est un un irréductible de $\Z[\sqrt 2]$, donc un nombre premier de $\Z[\sqrt 2]$. En considérant la r-valuation notée $\nu_{r}$, l’égalité (1) implique $n\nu_{r}(y)=n\nu_{r}(k)+1$ ($y$ et $k$ sont non nuls donc la valuation de ces éléments est bien définie) donc $n$ divise 1 ce qui est exclu par l’hypothèse $n\ge 2$. Donc $x$ n’est pas dans $\Q[\sqrt 2]$.

2. Solution utilisant l’arithmétique des polynômes (Eisenstein et lemme de Gauss)
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   Avec la notation précédente pour $r$, dans $A[X]$ où$A:=\Z[\sqrt 2]$, $P:=X^{n}-r$ est $r$-Eisenstein car $r$ est premier dans $A$. Par Eisenstein et le lemme de Gauss ($P$ est unitaire donc primitif ce qui permet d’appliquer le lemme de Gauss), $P$ est irréductible dans $K[X]$ où $K$ est le corps des fractions de $A$ c’est à dire $K=\Q[\sqrt 2]$. En particulier, comme $P$ est de degré $n\ge 2$ par hypothèse, $P$ ne possède pas de facteur de degré 1 dans $K[X]$, ce qui signifie que $P$ ne possède pas de racine dans $\Q[\sqrt 2]$ ce qui implique que $x$ ne s’écrit pas $a+b\sqrt 2$.

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