La ligne d’horizon

(NB : la figure ci-dessous pose un évident problème d’échelle, mais elle permet d’effectuer le raisonnement)

Soit BC la hauteur de la personne qui regarde l’horizon (plus précisément BC est la hauteur entre ses yeux et la surface de l’eau), CH sa ligne de visée et AH le rayon de la terre. La ligne de visée est une tangente à la terre au point H, point d’horizon à partir duquel la surface de la terre n’est plus visible par les yeux en C, ceci à cause de la courbure de la terre derrière H. La distance que nous cherchons à déterminer est HC

Le triangle AHC est rectangle en H donc, avec Pythagore,
$$AC^2=AH^{2}+HC^{2}$$$$(R+BC)^2=R^{2}+HC^{2}$$$$R^{2}+BC^2+2\times R\times BC=R^{2}+HC^{2}$$

Nous pouvons négliger $BC^2$ devant $2\times R\times BC$ et donner l’expression finale de HC :
$$HC=\sqrt{2 R\times BC}$$

Application numérique : dans l’énoncé il manque la donnée de BC, mais nous pouvons assez facilement en donner un ordre de grandeur.
Pour une personne de $1m70$ dans $10 cm$ d’eau, on a donc $BC=1.60 m$
Alors $HC = 4.52 km$

Pour une personne de $1m90$ dans $10 cm$ d’eau, on a donc $BC=1.80 m$
Alors $HC = 4.79 km$