La preuve par 9 est-elle digne de confiance ?

1. $\textbf {Prise en main de la technique}$.

$158*42=6536$
Pour $158$ : $1+5+8=14$. Réduction: $1+4=5$ Résidu $5$
Pour $42$ : $4+2=6$ Résidu $6$
Résidu du produit : $6\times 5=30$ . Réduction $3+0=3$. Résidu du produit $3$
Résidu du produit calculé : $6+5+3+6=20$. Réduction : $2+0=2$. Les $2 $résidus sont différents donc le calcul est faux

$452\times 33=14916$
Pour $452$ : $4+5+2=11$. Réduction : $1+1=2$. Résidu $2$
Pour $33$ : $3+3=6$. Résidu $6$
Résidu du produit : $6\times 2=12$. Réduction : $1+2=3$
Réisdu du produit calculé : $1+4+9+1+6=21$. Réduction : $1+2=3$. Les 2 résidus sont identiques donc le calcul est juste

$123\times 402=49446$
Pour $123$ : $1+2+3=6$. Résidu $6$
Pour 402 : $4+0+2=6$. Résidu $6$
Résidu du produit : $6\times 6=36$. Réduction : $3+6=9$
Résidu du produit calculé : $4+9+4+4+6=27$. Réduction $2+7=9$. Le calcul est juste.

2. $\textbf {Comment fonctionne la preuve par 9 ?}$

Considérons par exemple le produit : $137\times 42=5754$

• Les trois nombres en base $10$ :
  $137=1\times 10^2+3\times 10+7$
  $42=4\times 10+2$
  $5754=5\times 10^3+7\times 10^2+5\times 10+4$

• Les expressions en base $9$
  $137=1\times (9+1)^2+3\times (9+1)+7=1\times 9^2+1\times 1^2+1\times 2\times 9+3\times 9+3\times 1+7=1\times 9^2+5\times 9+(1+3+7)$. Le résidu intermédiaire est donc le chiffre des unités dans l’écriture en base $9$. Si on procède à une nouvelle réduction de $1+3+7=11$, l’expression en base $9$ devient $137=1\times 9^2+6\times 9+2$. Le résidu est donc $2$.

$42=4\times (9+1)+2=4\times 9+4+2=4\times 9+6$. Le résidu 6 est le chiffre des unités en base $9$

$9$ est une "bonne" base pour mettre en oeuvre cette preuve car sa distance à $10$ est de $1$, qui, élevé à n’importe quelle puissance donne $1$, et permet donc de calculer le résidu avec cette somme des chiffres du nombre.

• Produit des deux nombres
  $137\times 42= (1\times 9^2+6\times 9+2)\times (4\times 9+6)=4\times 9^3+4\times 6\times 9^2+2\times 4\times 9+6\times 1\times 9^2+6\times 6\times 9+6\times 2=4\times 9^3+30\times 9^2+44\times 9+12=4\times 9^3+(27+3)\times 9^2+(36+8)\times 9+12=4\times 9^3+(3\times 9+3)\times 9^2+(4\times 9+8)\times 9+(9+3)=4\times 9^3+3\times 9^3+3\times 9^2+4\times 9^2+8\times 9+9+3=7\times 9^3+7\times 9^2+9\times 9+3=7\times 9^3+8\times9^2+3$
  Le résidu est à nouveau le chiffre des unités de l’expression du produit en base $9$

La preuve par $9$ consiste donc à calculer les résidus des deux nombres (résidus qui sont les unités des expressions en base $9$) , puis le résidu du produit des résidus, qui constitue aussi comme nous venons de le voir le résidu du produit des deux nombres (chiffre des unités dans l’expression du produit en base $9$).
Si le résidu du produit calculé n’est pas égal à cette valeur, c’est que le calcul n’est pas juste.

3. $\textbf {La preuve par 9 est-elle digne de confiance ?}$

Reprenons le produit précédent $137\times 42$ .

• $5744$ : $5+7+4+4=20$. Réduction : $2+0=2$. Le résidu devrait être $3$ donc le calcul est faux

• $5763$ : $5+7+6+3=21$. Réduction : $2+1=3$. Le résidu est bien $3$ donc on en concluerait que le calcul est juste, ce qui n’est bien sûr pas le cas. Donc la technique ne marche pas toujours . Elle permet de dire qu’un calcul est faux mais ne permet pas de prouver que le calcul est juste.

• $5772$, $5844$, $5745$ sont des produits calculés faux que la technique ne détecte pas.

• Tous les produits distants d’un multiple de $9$ du vrai produit seront des produits calculés faux que le technique ne va pas détecter.