La preuve par 9 est-elle digne de confiance ?

La « preuve par 9 » est une technique de vérification du calcul d’un produit de deux nombres entiers. Rappelons son principe à partir d’un exemple.

Prenons deux nombres, $38$ et $62$ dont il faut calculer le produit. Le calcul donne un produit de $2356$ . Il s’agit de vérifier si ce calcul est juste.
On prend d’abord le premier nombre $38$ , et on effectue la somme des chiffres qui le composent, soit $3+8=11$ . Ensuite, on effectue la même opération sur la somme obtenue, ceci jusqu’à obtenir un nombre à 1 chiffre qui est appelé $\textbf {résidu}$ : dans notre cas, pour $11$ , $1+1=\bf 2$ .
On procède de même avec le deuxième nombre $62$ . Première somme : $6+2=8$ . Le résidu est donc $\bf 8$ .
On effectue ensuite le produit des deux résidus : $2\times 8=16$ . Puis on procède de même avec ce résultat: $1+6=7$ , donc nous obtenons un résidu de $\bf 7$ .
Enfin, la même opération est effectuée avec le produit calculé $2356$ . Première somme : $2+3+5+6=16$ . Deuxième somme : $1+6=7$ , donc nous otenons aussi un résidu de $\bf 7$

Si le résidu du produit est égal au résidu du produit des deux résidus des nombres initiaux, le calcul est considéré comme juste. Sinon, il est considéré comme faux.

$\textbf {Prise en main de la technique}$ .

Les trois produits suivants ont été calculés. Vérifier par la technique de « la preuve par 9 » que les résutats sont corrects :

$158*42=6536$
$452*33=14916$
$123*402=49446$

$\textbf {Comment fonctionne la preuve par 9 ?}$

Considérons par exemple le produit : $137\times 42=5754$

Donner l’expression de ces trois nombres en base 10 sous la forme $a*10^3+b*10^2+c*10+d$ (si le concept de "base numérique" n’est pas familier, voir l’exercice Changer de base, ça dépayse !).
A partir des expressions des deux premiers nombres en base $10$ , construire les expressions en base $9$ en utilisant la simple égalité $10=9+1$
Où se trouve le résidu pour chaque nombre ?
Qu’est-ce qui fait que 9 est une "bonne" base pour mettre en oeuvre cette preuve ?
A partir des expressions en base 9 obtenues, effectuer le produit des deux nombres, et exprimer ce produit en base 9 aussi.
Où se trouve le résidu du produit ?
En déduire comment fonctionne la « preuve par 9 ».

$\textbf {La preuve par 9 est-elle digne de confiance ?}$

Reprenons le produit précédent 137*42 .

En supposant cette fois que le calcul du produit a donné 5744, vérifier par la technique de la preuve par 9 que le calcul est faux.
En supposant cette fois que le calcul du produit a donné 5763, vérifier par la technique de la preuve par 9 que le calcul est faux.
Trouver d’autres produits qui montrent que cette technique "laisse passer" des résultats faux.
Quelle est la caractéristique des calculs faux que la technique ne détecte pas ?

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Solution by goldfinch

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$\textbf {Prise en main de la technique}$ .

$158*42=6536$
Pour $158$ : $1+5+8=14$ . Réduction: $1+4=5$ Résidu $5$
Pour $42$ : $4+2=6$ Résidu $6$
Résidu du produit : $6\times 5=30$ . Réduction $3+0=3$ . Résidu du produit $3$
Résidu du produit calculé : $6+5+3+6=20$ . Réduction : $2+0=2$ . Les $2 $résidus sont différents donc le calcul est faux

$452\times 33=14916$
Pour $452$ : $4+5+2=11$ . Réduction : $1+1=2$ . Résidu $2$
Pour $33$ : $3+3=6$ . Résidu $6$
Résidu du produit : $6\times 2=12$ . Réduction : $1+2=3$
Réisdu du produit calculé : $1+4+9+1+6=21$ . Réduction : $1+2=3$ . Les 2 résidus sont identiques donc le calcul est juste

$123\times 402=49446$
Pour $123$ : $1+2+3=6$ . Résidu $6$
Pour 402 : $4+0+2=6$ . Résidu $6$
Résidu du produit : $6\times 6=36$ . Réduction : $3+6=9$
Résidu du produit calculé : $4+9+4+4+6=27$ . Réduction $2+7=9$ . Le calcul est juste.

$\textbf {Comment fonctionne la preuve par 9 ?}$

Considérons par exemple le produit : $137\times 42=5754$

Les trois nombres en base $10$ :
$137=1\times 10^2+3\times 10+7$
$42=4\times 10+2$
$5754=5\times 10^3+7\times 10^2+5\times 10+4$
Les expressions en base $9$
$137=1\times (9+1)^2+3\times (9+1)+7=1\times 9^2+1\times 1^2+1\times 2\times 9+3\times 9+3\times 1+7=1\times 9^2+5\times 9+(1+3+7)$ . Le résidu intermédiaire est donc le chiffre des unités dans l’écriture en base $9$ . Si on procède à une nouvelle réduction de $1+3+7=11$ , l’expression en base $9$ devient $137=1\times 9^2+6\times 9+2$ . Le résidu est donc $2$ .

$42=4\times (9+1)+2=4\times 9+4+2=4\times 9+6$ . Le résidu 6 est le chiffre des unités en base $9$

$9$ est une "bonne" base pour mettre en oeuvre cette preuve car sa distance à $10$ est de $1$ , qui, élevé à n’importe quelle puissance donne $1$ , et permet donc de calculer le résidu avec cette somme des chiffres du nombre.

Produit des deux nombres
$137\times 42= (1\times 9^2+6\times 9+2)\times (4\times 9+6)=4\times 9^3+4\times 6\times 9^2+2\times 4\times 9+6\times 1\times 9^2+6\times 6\times 9+6\times 2=4\times 9^3+30\times 9^2+44\times 9+12=4\times 9^3+(27+3)\times 9^2+(36+8)\times 9+12=4\times 9^3+(3\times 9+3)\times 9^2+(4\times 9+8)\times 9+(9+3)=4\times 9^3+3\times 9^3+3\times 9^2+4\times 9^2+8\times 9+9+3=7\times 9^3+7\times 9^2+9\times 9+3=7\times 9^3+8\times9^2+3$
Le résidu est à nouveau le chiffre des unités de l’expression du produit en base $9$

La preuve par $9$ consiste donc à calculer les résidus des deux nombres (résidus qui sont les unités des expressions en base $9$ ) , puis le résidu du produit des résidus, qui constitue aussi comme nous venons de le voir le résidu du produit des deux nombres (chiffre des unités dans l’expression du produit en base $9$ ).
Si le résidu du produit calculé n’est pas égal à cette valeur, c’est que le calcul n’est pas juste.

$\textbf {La preuve par 9 est-elle digne de confiance ?}$

Reprenons le produit précédent $137\times 42$ .

$5744$ : $5+7+4+4=20$ . Réduction : $2+0=2$ . Le résidu devrait être $3$ donc le calcul est faux
$5763$ : $5+7+6+3=21$ . Réduction : $2+1=3$ . Le résidu est bien $3$ donc on en concluerait que le calcul est juste, ce qui n’est bien sûr pas le cas. Donc la technique ne marche pas toujours . Elle permet de dire qu’un calcul est faux mais ne permet pas de prouver que le calcul est juste.
$5772$ , $5844$ , $5745$ sont des produits calculés faux que la technique ne détecte pas.
Tous les produits distants d’un multiple de $9$ du vrai produit seront des produits calculés faux que le technique ne va pas détecter.

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