La projection stéréographique préserve les cercles

Soit $\mathcal{S}$ la sphère unité^EN de $\R^{3}$ pour la norme euclidienne. On nomme $N=(0,0,1)$ son pôle nord et $H$ le plan horizontal, qui a une équation $z=0.$ Soit $\pi$ la projection stéréographique de $N$ sur $H:$ elle envoie n’importe quel point $P \neq N$ sur $\mathcal{S}$ à l’intersection $Q$ de la droite $(NP)$ et du plan $H.$
Soit aussi $C$ l’intersection de $\mathcal{S}$ avec un plan affine de $\R^{3}$ tel que $C$ contient au moins $2$ points.

Prouvez que l’image $\pi(C)$ du cercle $C$ par la projection stéréographique est un cercle de $H$ si $N\not\in C$ , et qu’il s’agit d’une ligne de $H$ sinon.
geogeb

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AilDesOurs@aildesours

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Solution by AilDesOurs

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Preuve en utilisant l’inversion.
Soit $I$ l’inversion de pôle $N$ et de puissance $2R^{2}=2$ . La projection stéréographique est la restriction de $I$ à la sphère de l’espace $\mathbb{R}^3$ .
Cas $N \notin C$
Soit $S$ une sphère qui admet pour grand cercle $C$ . L’image par $I$ de $S$ est une sphère (on pourrait d’ailleurs trouver le rayon). Mais l’image par $I$ de $C$ est dans le plan $z=0$ . L’intersection donne donc un cercle.
Cas $N \in C$
L’image par $I$ d’un cercle passant par son pôle $N$ est une droite dans le plan contenant le cercle. Cette droite est perpendiculaire à la droite passant par son centre et $N$ . L’image de $C$ étant dans le plan $z=0$ , c’est donc une droite de $H$ .

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