Stereographic projection preserves circles

Let $S$ denote the unit sphere in $\R^{3}.$ We call $N=(0,0,1)$ its North pole and write $H$ the horizontal plane, which has equation $z=0.$ Let $\pi$ be the stereographic projection from $N$ onto $H:$ it sends any point $P \neq N$ on $S$ to the intersection $Q$ of the line $(NP)$ and the plane $H.$
Let $C$ be the intersection of $S$ with an affine plane in $\R^{3}$ such that $C$ contains at least $2$ points.

Prove that the image $\pi(C)$ of the circle $C$ by the stereographic projection is a circle in $H$ if $S \not\in C$ , and that it is a line in $H$ otherwise.
geogeb

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AilDesOurs@aildesours

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Solution by AilDesOursFR

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Preuve en utilisant l’inversion.
Soit $I$ l’inversion de pôle $N$ et de puissance $2R^{2}=2$ . La projection stéréographique est la restriction de $I$ à la sphère de l’espace $\mathbb{R}^3$ .
Cas $N \notin C$
Soit $S$ une sphère qui admet pour grand cercle $C$ . L’image par $I$ de $S$ est une sphère (on pourrait d’ailleurs trouver le rayon). Mais l’image par $I$ de $C$ est dans le plan $z=0$ . L’intersection donne donc un cercle.
Cas $N \in C$
L’image par $I$ d’un cercle passant par son pôle $N$ est une droite dans le plan contenant le cercle. Cette droite est perpendiculaire à la droite passant par son centre et $N$ . L’image de $C$ étant dans le plan $z=0$ , c’est donc une droite de $H$ .

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