La seule limite possible pour $\displaystyle\frac{\psi(x)}{x}$ (si elle existe)

Pour $x$ réel $\geqslant 1$,

on pose $\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}\ln(\frac{x}{k})$ et $\displaystyle g(x)=2\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}(1-\frac{k}{x})$

1. Montrez que $f$ et $g$ sont des fonctions continues.

Montrez que $f(x)\leqslant x-1\leqslant g(x)$

2. on définit la seconde fonction de Tchebychev par $\displaystyle\psi(x)=\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}\Lambda(k)$ où $\Lambda$ est la fonction de Von mangoldt,

Montrez que $\displaystyle\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}\Lambda(k)\left(\frac{x}{k}-1\right)=x\int_{1}^{x}\frac{\psi(t)}{t^{2}}\mathrm{d}t$

3. En utilisant $\displaystyle\sum_{d|n}\Lambda(d)=\ln(n)$ , calculez $\displaystyle\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}\Lambda(k)f(\frac{x}{k})$ et $\displaystyle\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}\Lambda(k)g(\frac{x}{k})$, et montrez que :

$\displaystyle \sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}\ln(k)\ln(\frac{x}{k})\leqslant x\int_{1}^{x}\frac{\psi(t)}{t^{2}}\leqslant 2\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}\ln(k)(1-\frac{k}{x})$

4. Trouvez des équivalents en $x\sim +\infty$ de $\displaystyle \sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}\ln(k)\ln(\frac{x}{k})$ et de $\displaystyle 2\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor}\ln(k)(1-\frac{k}{x})$

5. En déduire que :

$\displaystyle \int_{1}^{x}\frac{\psi(t)}{t^{2}}\underset{x \to +\infty}{\sim}\ln(x)$

et que $\underline{\textbf{si}}$ $\displaystyle\frac{\psi(x)}{x}$ a une limite en $+\infty$ alors cette limite vaut $1$.