Le centre d’un groupe est normal

Soit $g$ dans $G$, et $h$ dans $Z(G)$. On a directement $gh=hg$ puisque $h$ commute avec tous les éléments du groupe ; et donc, on a montré que $gZ(G)\subseteq Z(G)g$. Par un argument tout à fait similaire, $Z(G)g\subseteq gZ(G)$, et on en conclut par double inclusion que $gZ(G)=Z(G)g$.
Donc $Z(G)$ est normal dans $G$.