Ivan Shishkin, Rye (1878)

Problems/GroupExercise

Le centre d’un groupe est normal

by Ancient Tree·
33
Difficulty scaleÉchelle de difficulté

This score reflects both the level of the required concepts and the difficulty of the solution.Ce score tient compte à la fois du niveau des notions nécessaires et de la difficulté de la résolution.

  1. 1–10First steps / middle schoolPremiers pas / collège
  2. 11–25Beginner / high schoolDébutant / lycée
  3. 26–50Intermediate / undergraduateIntermédiaire / licence
  4. 51–70Advanced / graduateAvancé / master
  5. 71–90Expert / specializedExpert / spécialisé
  6. 91–100Research levelNiveau recherche
These levels are approximate guides.Ces niveaux sont des repères approximatifs.
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Soit GG un groupe. Montrer que le centre Z(G)Z(G) est normal dans GG.

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Solutions

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Solution by Ancient Tree

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Soit gg dans GG, et hh dans Z(G)Z(G). On a directement gh=hggh=hg puisque hh commute avec tous les éléments du groupe ; et donc, on a montré que gZ(G)⊆Z(G)ggZ(G)\subseteq Z(G)g. Par un argument tout à fait similaire, Z(G)g⊆gZ(G)Z(G)g\subseteq gZ(G), et on en conclut par double inclusion que gZ(G)=Z(G)ggZ(G)=Z(G)g.
Donc Z(G)Z(G) est normal dans GG.

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