Le commutateur qui impose sa dimension

Soient $A, B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb R)$ telles que $A^{2}+B^{2}=AB$ et $\det (BA-AB) \neq 0$ .
Montrer que $n$ est divisible par $3$ .

I solved itMark it done Add to my listKeep it in your list

I like this problem0 likes

Solutions

Reveal solutionsAre you sure? Give it a try first.

Solution by visitor

Discussions0 useful votes

Posons $M=A+\omega B$ , où $\omega=-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$ . On a
$\begin{aligned} M\overline{M} &=(A+\omega B)(A+\bar\omega B)=A^{2}+\omega BA+\bar\omega AB+B^{2}\\ &=AB+\omega BA+\bar\omega AB=\omega\,(BA-AB), \end{aligned}$ car $\overline\omega+1=-\omega$ .
Comme $\det(M\overline{M})=\det M\cdot\det\overline M$ est un nombre réel, que $\det\bigl(\omega(BA-AB)\bigr)=\omega^{n}\det(BA-AB)$ et que $\det(BA-AB)\neq 0$ , le nombre $\omega^{n}$ est réel. Cela n’est possible que si $n$ est divisible par $3$ .

Report