Le paradoxe d’Achille et la tortue

Durant l’Antiquité, Zénon d’Élée propose un très célèbre paradoxe mettant en scène une course entre Achille et une tortue.

Achille, courant deux fois plus vite que la tortue, lui accorde une avance initiale de $1$ mètre.

On suppose qu’Achille met $1$ seconde pour atteindre la position initiale de la tortue. Pendant cette seconde, la tortue parcourt $0{,}5$ mètre. Achille doit alors à nouveau atteindre la position de la tortue et parcourir ces $0{,}5$ mètre supplémentaires, ce qui lui demande $0{,}5$ seconde. Pendant ce temps, la tortue avance encore de $0{,}25$ mètre, et ainsi de suite.

Le raisonnement de Zénon conduit alors à une conclusion apparemment paradoxale : Achille doit franchir une infinité de distances successives avant de rattraper la tortue. Chacune de ces distances nécessite un temps strictement positif. Peut-il néanmoins effectuer ces étapes en un temps fini ?

On note $u_n$ le temps total nécessaire à Achille pour franchir les $n+1$ premières distances :

$$u_n=1+\frac12+\frac1{2^2}+\cdots+\frac1{2^n} =\sum_{k=0}^{n}\left(\frac12\right)^k.$$

1. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

2. Montrer que, pour tout $n\geq0$,

$$u_n=2-\frac1{2^n}.$$

3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

4. Que représente cette limite dans le problème d’Achille et de la tortue ? Zénon avait-il raison de conclure qu’Achille ne rattraperait jamais la tortue ?