Le problème du parc

Une ville veut aménager un parc triangulaire dont les trois sommets se trouveraient sur une barrière circulaire $C$ , déjà existante.
Déterminer sous quelles conditions sur le triangle l’aire du parc sera maximale. circumscribed

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Solution by Ancient Tree

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Intuitivement, le triangle équilatéral est celui qui possède la plus grande aire.
Pour le démontrer, supposons que notre triangle $ABC$ possède deux côtés qui ne sont pas égaux. Sans perte de généralité, disons $AB$ et $AC$ . Plaçons maintenant le point $A'$ sur le cercle de sorte que $A'B$ et $A'C$ soient égaux.

equilat

Le nouveau triangle $A'BC$ a une aire plus grande que $ABC$ , puisqu’ils ont la même base $BC$ , mais que la hauteur correspondante de $A'BC$ est plus grande. Cela semble intuitivement évident, mais pas si trivial à démontrer.

Preuve

Une manière de le montrer consiste à considérer la figure suivante :

où nous avons ajouté :

le centre $O$ du cercle
la projection orthogonale $P$ de $O$ sur la droite $(AH)$
le pied $H$ de la hauteur de $ABC$
le pied $M$ de la hauteur correspondante dans $A'BC$

On peut maintenant simplement utiliser l’inégalité triangulaire : la hauteur $AH$ est égale à $AP+PH$ , mais $AP$ est strictement inférieur à $OA$ , car le triangle $AOP$ est rectangle et $AO$ en est l’hypoténuse. Or, $AO$ est le rayon du cercle, donc il est égal à $A'O$ . Finalement :
$AH=AP+PH<AO+PH=AO+OM=AM$ Ainsi, la hauteur $AH$ est strictement inférieure à la hauteur $AM$ .

Cela montre que, pour tout triangle qui n’est pas équilatéral, on peut construire un triangle ayant une aire plus grande. Par conséquent, le triangle d’aire maximale doit être équilatéral.

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