Lemme de Serre

Preuve en vidéo : https://youtu.be/H7s-GgsR8Ls

On commence par prouver le petit lemme suivant.
Lemme
Soit $B\in M_{n}(\mathbb{Z})$ diagonalisable dans $\mathbb{C}$ et dont les valeurs propres sont toutes de module $<1$ alors $B=0.$
Preuve
Le polynôme caractéristique $\chi_B$ de $B$ est à coefficients entiers car le déterminant d’une matrice est un polynôme en ses coefficients. Si on note $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ les valeurs propres non nulles de $B$ comptées avec multiplicité alors $\chi_B=(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_r)X^{n-r}$. Ainsi son coefficient en $X^{n-r}$ est $(-1)^r\lambda_1\cdots\lambda_r\in\mathbb{Z}$. Mais s’agit également d’un complexe non nul de module $<1$ ce qui est exclu. C’est donc que $B$ ne possède pas de valeurs propres non nulle. Puisque $B$ est diagonalisable elle est semblable à la matrice nulle donc elle est nulle. $\square$

On commence par justifier que $\pi$ est bien définie. Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ alors, $\exists A^{-1}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}), AA^{-1}=I_n$ donc $\det(AA^{-1})=\underbrace{\det(A)}_{\in\mathbb{Z}}\underbrace{\det(A^{-1})}_{\in\mathbb{Z}}=1$. Donc $\det(A)\in{-1,1}.$ Puisque la réduction modulo $p,\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{F}_p$ est un morphisme d’anneaux on a
$$\overline{\det(A)}=\overline{\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\varepsilon(\sigma)a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}}=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\overline{\varepsilon(\sigma)}\overline{a_{1\sigma(1)}}\cdots \overline{a_{n\sigma(n)}}=\det(\overline{A})\in\{\overline{-1},\overline{1}\}\subset \mathbb{F}_p\setminus\{0\}.$$Ainsi pour $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}),\pi(A)\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$ donc $\pi$ est bien définie. De plus chaque coefficient du produit de deux matrices est somme et produit de coefficients des deux facteurs. Puisque la réduction modulo $p$ est un morphisme d’anneaux, $\pi$ est un morphisme de groupes.

Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ de cardinal fini $d$ et soit $A\in\ker(\pi)\cap G.$ Puisque $A\in\ker(\pi)$ il existe $B\in M_n(\mathbb{Z})$ telle que $A=I_n+pB$. On veut montrer que $\pi_{\mid G}$ est injective, i.e. que son noyau est réduit à $\{I_n\}$ donc que $B=0.$ Pour montrer que $B=0$ on va montrer qu’elle vérifie les hypothèses de la question précédente.
D’après le théorème de Lagrange $A^d=I_n$, i.e. $P=X^d-1$ est un polynôme annulateur de $A$ et $Q=(1+pX)^d-1$ annule $B$. L’ensemble des racines de $P$ est $U_d=\{e^{i\frac{2 k\pi}{d}}\mid 0\leq k\leq d-1\}$, l’ensemble les $d$ racines $d$-ème de l’unité. De même l’ensemble des racines de $Q$ est $\left\{\dfrac{\xi-1}{p}\mid\xi\in U_d\right\}$ qui est aussi de cardinal $d$ car $z\mapsto \dfrac{z-1}{p}$ est injective. La matrice $B$ étant annulée par un polynôme scindé à racines simples est diagonalisable dans $\mathbb{C}.$ Par ailleurs, son spectre est inclus dans les racines de $Q$ donc toute valeurs propre de $B$ est de la forme $\dfrac{\xi-1}{p}$. Or $\left|\dfrac{\xi-1}{p}\right|\leq \dfrac{2}{p}<1$. Donc, d’après le lemme $B=0$ donc $A=I_n.$ On a alors $\ker(\pi_{\mid G})=\{I_n\}$ donc $\pi_{\mid G}$ est un morphisme injectif.