Les fantômes d’Halloween

La nuit d’Halloween, les polynômes patrouillent sur la demi-droite $[0,+\infty[$. Pour détecter une fonction $f$, un polynôme $P$ ne dispose que d’un instrument : le nombre $\displaystyle \int_0^{+\infty} P(x) f(x)\,\mathrm{d}x$. Si ce nombre est nul, le polynôme conclut qu’il n’y a rien.

On appelle fantôme une fonction continue $f : [0,+\infty[ \to \mathbb R$, non identiquement nulle, telle que, pour tout $n\in\mathbb N$, la fonction $x\mapsto x^n f(x)$ soit intégrable sur $[0,+\infty[$ et

$$\int_0^{+\infty} x^n f(x)\,\mathrm{d}x = 0 .$$

Autrement dit, un fantôme est invisible pour tous les polynômes : $\displaystyle \int_0^{+\infty} P(x)f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ pour tout polynôme $P$.

1. Montrer qu’un fantôme ne peut pas être positif, ni nul en dehors d’un segment, ni même de signe constant au voisinage de $+\infty$.
2. Les fantômes existent-ils ?
3. Montrer qu’un fantôme ne peut pas s’évanouir exponentiellement vite : si $f$ est continue sur $[0,+\infty[$ et vérifie $|f(x)|\leqslant C e^{-ax}$ pour des constantes $C>0$ et $a>0$, alors $f$ n’est pas un fantôme.