Les fonctions paires et impaires font la paire

Question 1

$\newline$
Soient $f_{1}, f_{2} \in F$ , $g_{1}, g_{2} \in G$ et $\lambda, \mu \in \R$
$\newline$
$F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ :

• La fonction nulle est dans $F$, en effet en posant $\forall x \in \R, f(x) =0$, on a $\forall x \in \, f(-x) = 0 =f(x)$
• $\lambda f_{1} + \mu f_{2} \in F$, en effet : $\forall x \in \R, (\lambda f_{1} + \mu f_{2})(-x) = \lambda f_{1}(-x) + \mu f_{2}(-x) = \lambda f_{1}(x) + \mu S_{2}(x)$
  $\newline$
  $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ :
• La fonction nulle est dans $G$, en effet en posant $\forall x \in \R, g(x) =0$, on a $\forall x \in \, g(-x) = 0 = -0 =-g(x)$
• $\lambda g_{1} + \mu g_{2} \in G$, en effet : $\forall x \in \R, (\lambda g_{1} + \mu g_{2})(-x) = \lambda g_{1}(-x) + \mu g_{2}(-x) = -(\lambda g_{1}(x) + \mu g_{2}(x))$

Question 2

On souhaite montrer que $F \oplus G = E$
Pour cela on montre par analyse-synthèse que toute fonction $h \in E$ est décomposable de manière unique comme une somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Analyse

Soit $h \in E$.
On suppose qu’ils existent $f \in F$ et $g \in G$ telles que $h = f + g$, c’est-à-dire $\forall x \in \R, h(x)= f(x) + g(x)$

En substituant $x$ par $-x$ : $h(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) - g(x)$

En sommant les deux égalités : $\forall x \in \R, h(x) + h(-x) = 2f(x)$, on déduit ainsi la fonction $f$ qui est $x \mapsto \frac{h(x) + h(-x)}{2}$
En soustrayant les deux égalités : $\forall x \in \R, h(x) - h(-x) = 2g(x)$, on déduit ainsi la fonction $g$ qui est $x \mapsto \frac{h(x) - h(-x)}{2}$

L’unique couple $(f,g)$ candidat est $(x \mapsto \frac{h(x) + h(-x)}{2}, x\mapsto \frac{h(x)-h(-x)}{2})$.
$\newline$

Synthèse

$\newline$
Soit $h \in E$

Posons les fonctions $f : x \mapsto \frac{h(x) + h(-x)}{2}$ et $g : x \mapsto \frac{h(x) - h(-x)}{2}$
Vérifions que $f \in F$ , que $g \in G$ et que $h = f+ g$
$\newline$
$\forall x \in \R, f(-x) = \frac{h(-x)+ h(-(-x))}{2} = \frac{h(-x) + h(x)}{2} = f(x)$, donc $f \in F$
$\forall x \in \R, g(-x) = \frac{h(-x)+ h(-(-x))}{2} = \frac{h(-x) - h(x)}{2} = -g(x)$, donc $g \in G$
$\forall x \in \R, f(x)+ g(x) = \frac{h(x) + h(-x)}{2} + \frac{h(x) - h(-x)}{2} = \frac{2h(x)}{2} = h(x)$
$\newline$
La phase de synthèse est terminée.
Nous avons montré l’existence (synthèse) et l’unicité (analyse) d’une décomposition, pour toute fonction de $E$ comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.