Les fonctions strictement monotones sont injectives

Soit $D$ une partie de $\R$ . Soit $f : D \to \R$ une fonction strictement monotone. Montrer que $f$ est injective.
Trouver une fonction injective qui n’est pas strictement monotone.
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Pour aller plus loin, on peut établir une réciproque du théorème en ajoutant à $f$ la continuité et à $D$ le fait d’être un intervalle. Voir le problème : Continue sur un intervalle + injective $\implies$ strictement monotone

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Solution by darktoaster

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Soient $x$ et $y$ dans $D$ tels que $x \ne y$ . On a $x < y$ ou $y < x$ , donc par stricte monotonie de $f$ : $f(x) < f(y)$ ou $f(y) < f(x)$ donc $f(x) \ne f(y)$ , ce qui conclut l’injectivité de $f$ .
On considère l’application $f$ définie sur $[0,2]$ par $\forall x \in [0,1[, f(x) = x$ et $\forall x \in [1,2], f(x) = 4 - x$ . $f$ est injective, en effet pour $x$ et $y$ dans $[0,1[$ tels que $x \ne y$ , on a simplement $f(x) \ne f(y)$ car $x \ne y$ . Idem si on prend $x$ et $y$ distincts dans $[1,2]$ car $4 - x \ne 4 - y$ . Si on prend un réel $x$ dans $[0,1[$ et un réel $y$ dans $[1,2]$ alors $f(x) < 1 < 2 \le f(y)$ donc $f(x) \ne f(y)$

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