Les suites d’entiers convergentes sont stationnaires

Soit $(u_{n})$ une suite d’entiers relatifs convergente. Montrons qu’elle est stationnaire, c’est-à-dire constante à partir d’un certain rang.
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On note $\ell$ la limite de $(u_{n})$.
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Par opérations $\lim\limits_{n \to +\infty} (u_{n+1} - u_{n}) = \ell - \ell = 0$
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Par définition de la limite, en prenant $\varepsilon = \frac 1 2$ , il existe un $n_{0} \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \ge n_{0}, -\frac 1 2 \le u_{n+1} - u_{n} \le \frac 1 2$
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Comme $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \in \mathbb{Z}$ par définition de $(u_{n})$, on a donc $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_{n} \in \mathbb{Z}$ (la somme/différence entre deux entiers est un entier)
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Le seul entier compris entre $-\frac 1 2$ et $\frac 1 2$ est l’entier $0$.
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Donc nous avons $\forall n \ge n_{0} , u_{n+1} -u_{n} = 0$
Autrement dit : $\forall n \ge n_{0} , u_{n+1} = u_{n}$
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Ce qui veut dire que $u_{n}$ est bien stationnaire (constante à partir du rang $n_{0}$).
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Toute suite constante converge et la limite d’une suite convergente est égale à l’unique valeur que prend cette suite.
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$(u_{n})$ est constante à partir de $n_{0}$ donc $\forall n \ge n_{0}, \ell = u_{n_{0}} = u_{n}$.
Ce qui permet de dire que la limite de $(u_{n})$ est un entier.