L’habit ne fait pas le moine

Commençons par remarquer que $t\mapsto \arcsin(\sqrt{t})$ étant définie et continue sur $[0,1]$ la fonction $G\colon X\mapsto \displaystyle\int_0^X\arcsin(\sqrt{t})\,\mathrm{d}t$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$ par le théorème fondamental de l’analyse et $\forall X\in[0,1],G'(X)=\arcsin(\sqrt{X})$. Il en va de même pour $H\colon X\in[0,1]\mapsto \displaystyle\int_0^{X}\arccos(\sqrt{t})\,\mathrm{d}t.$ Ainsi $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ comme composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}.$ Par ailleurs, grâce aux formules de dérivées de composées, on a :
$$\forall x\in\mathbb{R}, F'(x)=2\cos(x)\sin(x)G'(\sin(x)^2)-2\sin(x)\cos(x)H'(\cos(x)^2)=\sin(2x)\left(\arcsin(\left|\sin(x)\right|)-\arccos(\left|\cos(x)\right|)\right).$$Soit $x\in\mathbb{R}$ et $\theta$ l’unique élément de $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ tel que $\sin(\theta)=\left|\sin(x)\right|$ ($\sin$ définit une bijection de $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ vers $[0,1]$). On a alors $\arcsin(\left|\sin(x)\right|)=\arcsin(\sin(\theta))=\theta.$ D’autre part, $\sqrt{1-\sin(\theta)^2}=\left|\cos(\theta)\right|=\cos(\theta)$ car $\cos$ positive sur $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ et $\sqrt{1-\sin(x)^2}=\left|\cos(x)\right|=\cos(\theta)$ si bien que $\arccos(\left|\cos(x)\right|)=\arccos(\cos(\theta))=\theta$. Ainsi, $\forall x\in\mathbb{R}, \arcsin(\left|\sin(x)\right|)=\arccos(\left|\cos(x)\right|)$ donc $F'=0$ sur l’intervalle $\mathbb{R}$ donc $F$ est constante. Pour déterminer cette constante on va évaluer $F$ en un $x$ bien choisi. On pourrait prendre $x=\dfrac{\pi}{2}$ ou $x=0$ pour éliminer une intégrale puis faire le changement de variable $u=\sqrt{t}$ et faire une intégration par parties mais on va proposer une solution un peu plus élémentaire en s’appuyant sur la relation $\forall x\in\mathbb{R}, \arcsin(x)+\arccos(x)=\dfrac{\pi}{2}$ (en effet, $\arcsin'+\arccos'=0$ et $\arcsin(0)+\arccos(0)=0+\dfrac{\pi}{2}$). Pour cela on a besoin que nos deux intégrales aient les mêmes bornes. On évalue donc en $\dfrac\pi 4$ :
$$F\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\int_0^{1/2}\arcsin(\sqrt{t})\,\mathrm{d}t+\int_0^{1/2}\arccos(\sqrt{t})\,\mathrm{d}t=\int_0^{1/2}\dfrac{\pi}{2}\,\mathrm{d}t=\dfrac{\pi}{4}.$$ Donc
$$\forall x\in\mathbb{R}, \int_0^{\sin^2x}\arcsin(\sqrt{t})\,\mathrm{d}t+\int_0^{\cos^2x}\arccos(\sqrt{t})\,\mathrm{d}t=\dfrac{\pi}{4}.$$