Limite d’un rapport entre sommes harmoniques partiellement tronquées

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$n$ est un entier $\geqslant 1$ fixé ;
$k$ parcourt les nombres entiers $\geqslant 1$ ;
$q$ parcourt les nombres entiers $\geqslant 1$ tels que $\operatorname{pgcd}(q,n)=1$ ;
$\varphi$ désigne l’indicatrice d’Euler.

Montrez que:

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\displaystyle\sum_{1\leqslant q\leqslant x}\frac{1}{q}}{\displaystyle\sum_{1\leqslant k\leqslant x}\frac{1}{k}}=\frac{\varphi(n)}{n}$ .

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