Ivan Shishkin, Rye (1878)

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Limite d’un rapport entre sommes harmoniques partiellement tronquées

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Solution by mathman · FR

il faut partir de l’intégrale:

∫0+∞1et−1−netn−1dt=ln⁡(n)\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{e^{t}-1}-\frac{n}{e^{tn}-1}dt=\ln(n)

de laquelle on obtient:

ln⁡(n)=∑k=1n−1∫0+∞etk−1etn−1dt\ln(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{tk}-1}{e^{tn}-1}dt

puis on retire de la somme du second membre tous les kk qui ont un diviseur commun avec nn:

∑d∣nμ(d)dln⁡(nd)=∑(q,n)=1q<n∫0+∞etq−1etn−1dt\displaystyle\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}\ln(\frac{n}{d})=\sum_{(q,n)=1}^{q<n}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{tq}-1}{e^{tn}-1}dt

ensuite on scinde les intégrales du second membre en deux:

∑d∣nμ(d)dln⁡(nd)=∑(q,n)=1q<n∫0+∞etq−1etn−1(1−e−λnt)dt+∑(q,n)=1q<n∫0+∞etq−1etn−1e−λntdt\displaystyle\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}\ln(\frac{n}{d})=\sum_{(q,n)=1}^{q<n}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{tq}-1}{e^{tn}-1}(1-e^{-\lambda nt})dt+\sum_{(q,n)=1}^{q<n}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{tq}-1}{e^{tn}-1}e^{-\lambda nt}dt

on peut ainsi écrire:

∑d∣nμ(d)dln⁡(nd)=∑(q,n)=1q<n∑k=1λ(1kn−q−1kn)+∑(q,n)=1q<n∫0+∞etq−1etn−1e−λntdt\displaystyle\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}\ln(\frac{n}{d})=\sum_{(q,n)=1}^{q<n}\sum_{k=1}^{\lambda}(\frac{1}{kn-q}-\frac{1}{kn})+\sum_{(q,n)=1}^{q<n}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{tq}-1}{e^{tn}-1}e^{-\lambda nt}dt

puis ensuite:

∑d∣nμ(d)dln⁡(nd)=∑(q,n)=1q<λn1q−φ(n)n∑k=1λ1k+∑(q,n)=1q<n∫0+∞etq−1etn−1e−λntdt\displaystyle\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}\ln(\frac{n}{d})=\sum_{(q,n)=1}^{q<\lambda n}\frac{1}{q}-\frac{\varphi(n)}{n}\sum_{k=1}^{\lambda}\frac{1}{k}+\sum_{(q,n)=1}^{q<n}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{tq}-1}{e^{tn}-1}e^{-\lambda nt}dt

le premier membre, quant à lui, s’écrit:

∑d∣nμ(d)dln⁡(nd)=φ(n)nln⁡(n)+∑d∣n−μ(d)dln⁡(d)\displaystyle\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}\ln(\frac{n}{d})=\frac{\varphi(n)}{n}\ln(n)+\sum_{d|n}-\frac{\mu(d)}{d}\ln(d)

et par ailleurs la somme ∑d∣n−μ(d)dln⁡(d)\displaystyle\sum_{d|n}-\frac{\mu(d)}{d}\ln(d) quant à elle peut aussi s’écrire φ(n)n∑p∣nln⁡(p)p−1\displaystyle\frac{\varphi(n)}{n}\sum_{p|n}\frac{\ln(p)}{p-1}

finalement on obtient:

φ(n)n∑p∣nln⁡(p)p−1+φ(n)n(ln⁡(n)+∑k=1λ1k)=∑(q,n)=1q<λn1q+∑(q,n)=1q<n∫0+∞etq−1etn−1e−λntdt\displaystyle\frac{\varphi(n)}{n}\sum_{p|n}\frac{\ln(p)}{p-1}+\frac{\varphi(n)}{n}(\ln(n)+\sum_{k=1}^{\lambda}\frac{1}{k})=\sum_{(q,n)=1}^{q<\lambda n}\frac{1}{q}+\sum_{(q,n)=1}^{q<n}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{tq}-1}{e^{tn}-1}e^{-\lambda nt}dt

et lorsque λ\lambda tend vers +∞+\infty :

ln⁡(n)+∑k=1λ1k=∑k=1λn1k\displaystyle\ln(n)+\sum_{k=1}^{\lambda}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{\lambda n}\frac{1}{k}

et ∑(q,n)=1q<n∫0+∞etq−1etn−1e−λntdt=0\displaystyle\sum_{(q,n)=1}^{q<n}\int_{0}^{+\infty}\frac{e^{tq}-1}{e^{tn}-1}e^{-\lambda nt}dt= 0

il reste:

φ(n)n∑p∣nln⁡(p)p−1+φ(n)n∑k=1λn1k=∑(q,n)=1q<λn1q\displaystyle\frac{\varphi(n)}{n}\sum_{p|n}\frac{\ln(p)}{p-1}+\frac{\varphi(n)}{n}\sum_{k=1}^{\lambda n}\frac{1}{k}=\sum_{(q,n)=1}^{q<\lambda n}\frac{1}{q}

on peut remplacer λn\lambda n par xx qui tend vers +∞+\infty (les termes entre λn\lambda n et xx sont alors négligeables et non pas d’impact sur la limite des sommes).

finalement, quand xx tend vers +∞+\infty :

∑p∣nln⁡(p)p−1=nφ(n)∑(q,n)=1q≤x1q−∑k=1k≤x1k\displaystyle\sum_{p|n}\frac{\ln(p)}{p-1}=\frac{n}{\varphi(n)}\sum_{(q,n)=1}^{q\leq x}\frac{1}{q}-\sum_{k=1}^{k\leq x}\frac{1}{k}

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