Linéarité et involutivité de la transposée

Question 1

$\newline$
Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
$\newline$
$[(\lambda A + \mu B)^{T}]_{i,j} = [\lambda A + \mu B]_{j,i} = \lambda [A]_{j,i} + \mu [B]_{j,i} = \lambda [A^{T}]_{i,j} + \mu [B^{T}]_{i,j} = [\lambda A^{T} + \mu B^{T}]_{i,j}$
$\newline$
Par égalité des coefficients, on déduit que : $(\lambda A + \mu B)^{T} = \lambda A^{T}+ \mu B^{T}$
$\newline$

Question 2

$\newline$
En une phrase : On inverse les lignes et colonnes de $A$, puis on réinverse les lignes et les colonnes de la transposée, on retombe sur nos pattes.
$\newline$
Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
$\newline$
$[(A^{T})^{T}]_{i,j} = [A^{T}]_{j,i} = [A]_{i,j}$
$\newline$
Par égalité des coefficients, on déduit que : $(A^{T})^{T} = A$