Linéarité et involutivité de la transposée

Soient $A, B \in \mathcal{M}_{m,n}(\R)$ et $\lambda, \mu \in \R$

$\textbf{1)}$ Montrer que la transposée est linéaire, c’est-à-dire : $(\lambda A + \mu B)^{T} = \lambda A^{T} + \mu B^{T}$
$\textbf{2)}$ Montrer que la transposée est involutive, c’est-à-dire : $A = (A^{T})^{T}$ .

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Solution by darktoaster

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Question 1

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Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
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$[(\lambda A + \mu B)^{T}]_{i,j} = [\lambda A + \mu B]_{j,i} = \lambda [A]_{j,i} + \mu [B]_{j,i} = \lambda [A^{T}]_{i,j} + \mu [B^{T}]_{i,j} = [\lambda A^{T} + \mu B^{T}]_{i,j}$
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Par égalité des coefficients, on déduit que : $(\lambda A + \mu B)^{T} = \lambda A^{T}+ \mu B^{T}$
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Question 2

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En une phrase : On inverse les lignes et colonnes de $A$ , puis on réinverse les lignes et les colonnes de la transposée, on retombe sur nos pattes.
$\newline$
Soient $i \in [\![1,m]\!]$ et $j\in [\![1,n]\!]$
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$[(A^{T})^{T}]_{i,j} = [A^{T}]_{j,i} = [A]_{i,j}$
$\newline$
Par égalité des coefficients, on déduit que : $(A^{T})^{T} = A$

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