Lucas's theorem and an application

Lucas’s theorem and an application

Soit $P$ un polynôme complexe scindé à racines simples^EN. Montrer que toutes les racines de $P'$ appartiennent à l'enveloppe convexe^EN des racines de $P$ , soit l’ensemble
$\left\{\sum_{i=1}^d \lambda_i z_i/ \forall i\in[\![1,d]\!], \lambda_i\geqslant0, \sum_{i=1}^d\lambda_i=1\right\}.$
Soit $d\in\mathbb{N}^*$ , $u_0,\dots,u_{d-1}$ des nombres complexes et $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ l’unique suite complexe définie par récurrence par les premiers termes $u_0,\dots,u_{d-1}$ et la relation
$\forall n\in\mathbb{N}, u_{n+d}=\frac{u_{n+d-1}+\dots+u_{n+1}+u_n}{d}.$ Montrer que $u$ converge vers un complexe $l$ qui devra être explicité.

Liked by

Report