Déterminant d’une matrice par blocs $=$ déterminant d’une matrice $2\times2$ ?

1. a) Le calcul par blocs nous donne $\begin{pmatrix} A & B\\ 0_n & D-CA^{-1}B\end{pmatrix}$.

2. b) En passant au déterminant dans l’égalité précédente (sachant que nos matrices introduites sont de déterminant calculable car diagonales par blocs, ou juste triangulaire), on trouve que:
   $$\det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix}=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)=\det(AD-ACA^{-1}B)=\det(AD-BC)$$Où la dernière égalité vient du fait que $AC=CA$.

2) a) $\det(A+tI_n)$ est un polynôme en $t$ (développer selon chaque colonne pour s’en convaincre). Ainsi il n’a qu’un nombre fini de zéros donc $A+tI_n$ est inversible sauf pour un nombre fini de valeurs de $t$.

2) b) On prend $t$ assez proche de $0$ pour que $A+tI_n$ soit toujours inversible (sauf peut-être pour $t=0$). Ainsi on peut appliquer notre calcul du 1) b) à $A+tI_n$ car elle est inversible et commute avec $C$. Le déterminant étant une fonction continue en $t$ car polynomiale, on peut alors faire tendre $t$ vers zéro et en déduire qu’on a le même résultat pour $A$ non-inversible.
Le titre de l’exercice vient du fait que le déterminant d’une matrice de taille $2\times 2$ qui prend la forme $\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ vaut $ad-cb$, soit de la même forme que ce qu’on a ici. Mais bien sûr on a besoin de l’hypothèse de commutativité de $A$ et de $C$ comme on l’a vu précédemment en 1) b) sinon le déterminant devient bien moche...

3) Par échange de lignes, on peut échanger les places de $A$ et $B$ en respectivement $C$ et $D$ (on aura alors réalisé $n$ échanges de lignes et ainsi le résultat sera vrai à $(-1)^n$ près car le déterminant est une forme alternée). Ainsi on se ramène au cas précédent à cet échange de matrices près, le déterminant vaudra alors $(-1)^n\det(BC-DA)$, qui vaut $\det(DA-BC)$ en faisant rentrer le $-$. Soit l’inverse de ce qu’on avait avant.
Remarque: Cet exercice pourra être utile quand on se confrontera à des calculs de polynôme caractéristique de matrices par blocs, et ainsi déterminer le spectre de ce genre de matrices. Voir la partie sur la réduction pour mieux comprendre.