Matrices with a diagonalizable power

La matrice $A^p$ est diagonalisable donc on a la décomposition (avec tous les espaces propres nuls sauf un nombre fini d’entre eux):
$$\mathbb{C}^n=\bigoplus_{\lambda\in \mathbb{C}}\mathrm{Ker}(A^p-\lambda I_n).$$On cherche maintenant à avoir la même décomposition mais pour les espaces propres de $A$. Pour cela, prenons $\lambda\neq0$, ainsi le polynôme $X^p-\lambda$ est scindé à racines simples, de racines $\mu_1,\dots,\mu_p$ et le lemme des noyaux permet de dire que:
$$\mathrm{Ker}(A^p-\lambda I_n)=\bigoplus_{i=1}^n\mathrm{Ker}(A-\mu_i I_n).$$Donc on a décomposé tous les espaces propres de $A$ comme des espaces propres de $A$, sauf pour $\lambda=0$. Or, dans ce cas, on a par hypothèse:
$$\mathrm{Ker}(A^p-\lambda I_n)=\mathrm{Ker}(A^p)=\mathrm{Ker}(A),$$et ainsi $\mathbb{C}^n$ est une somme d’espaces propres de $A$. Donc $A$ est diagonalisable, ce qui conclut.

Since $A$ and $A^{p}$ commute, $A$ stabilizes the eigenspaces of $A^{p}.$ If $0$ is an eigenvalue of $A^{p},$ then the hypothesis on $\mathrm{Ker}(A)$ ensures $A$ maps vectors of $\mathrm{Ker}(A^{p})$ to zero. If $\lambda$ is a nonzero eigenvalue of $A^{p},$ then the restriction $A_{\lambda}$ of $A$ on the corresponding eigenspace of $A^{p}$ has $X^{p}-\lambda$ as an annihilator, a polynomial with complex roots of multiplicity $1,$ hence $A_{\lambda}$ is diagonalizable. We conclude by noting $\C^{n}$ decomposes into eigenspaces of $A^{p}$ by diagonalizability of $A^{p}.$